Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

4.7 Multipolentwicklung für das Vektorpotential
df = 2
1
r
dr
C
dr
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
r
F
I
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Abbildung 4.9: Ein Stromkreis als geschlossener ebener Stromfaden
4.7.3 Magnetisches Moment eines geschlossenen, ebenen Stromkreises
Wir fassen den in Abbildung 4.9 gezeigten Stromkreis als Stromfaden mit ⃗jd 3 r = Id⃗r auf.
Aus Gleichung (4.52) folgt dann
⃗m = I ∫
(⃗r × d⃗r) .
2c
C
Wie aus der Abbildung ersichtlich, ist df ⃗ = 1/2(⃗r × d⃗r) gerade ein Flächenelement in der
Ebene des Stromkreises, und wir erhalten
⃗m = I ∫
df c
⃗ = I F
c ⃗ . (4.56)
Mit der Rechte-Hand-Regel folgt, dass ⃗m senkrecht auf der Leiterebene steht.
4.7.4 Magnetisches Moment eines Systems von Punktladungen
C
Die Stromdichte ⃗j sei hervorgerufen durch N Teilchen mit identischer Ladung q und Masse
M, so dass
N∑
⃗j (⃗r) = q ⃗v i δ
(⃗r − R ⃗ )
i .
i=1
Für das magnetische Moment (4.52) folgt dann
⃗m = q 2c
N∑
∫
i=1
d 3 r (⃗r × ⃗v i ) δ
(⃗r − R ⃗ )
i = q 2c
N∑ ( )
⃗Ri × ⃗v i .
i=1
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