Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
2.5.6 Beispiel: Kugelkoordinaten
Mit Kugelkoordinaten (r, θ, φ) gilt für den Ortsvektor
⃗r = x⃗e 1 + y⃗e 2 + z⃗e 3 = r sin θ cos φ⃗e 1 + r sin θ sin φ⃗e 2 + r cos θ⃗e 3 = ⃗r(r, θ, φ) (2.91)
mit r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ φ ≤ 2π. Als neue Koordinaten wählen wir also q 1 = r, q 2 = θ
und q 3 = φ.
Zur Berechnung der neuen Einheitsvektoren (2.71) und Skalenfaktoren (2.72) benötigen wir
∂⃗r/∂r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ,
∂⃗r/∂θ = r(cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ)
und ∂⃗r/∂φ = r(− sin θ sin φ, sin θ cos φ, 0) ,
so dass h 1 = h r = |∂⃗r/∂r| = 1 ,
h 2 = h θ = |∂⃗r/∂θ| = r ,
h 3 = h φ = |∂⃗r/∂φ| = r sin θ (2.92)
und ⃗e q1 = ⃗e r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) ,
⃗e q2 = ⃗e θ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, − sin θ) ,
⃗e q3 = ⃗e φ = (− sin φ, cos φ, 0) . (2.93)
Durch Einsetzen dieser Ergebnisse in den allgemeinen Ausdruck (2.81) erhalten wir für den
Gradienten in Kugelkoordinaten
⃗∇ψ = ∂ψ
∂r ⃗e r + 1 ∂ψ
r ∂θ ⃗e θ + 1 ∂ψ
r sin θ ∂φ ⃗e φ . (2.94)
Gemäß Gleichung (2.86) ergibt sich für die Divergenz in Kugelkoordinaten
[
div A ⃗ = ∇ ⃗ · ⃗A 1 ∂ (
=
Ar
r 2 r 2 sin θ ) + ∂ sin θ ∂r
∂θ (A θr sin θ) + ∂ ]
∂φ (A φr)
= 1 ∂ (
Ar
r 2 r 2) + 1 ∂
∂r r sin θ ∂θ (A θ sin θ) + 1 ∂
r sin θ ∂φ (A φ) , (2.95)
während Gleichung (2.88) für die Rotation in Kugelkoordinaten auf
rot ⃗ A =
=
1
r 2 sin θ
⎛
⃗e r r⃗e θ
⎞
r sin θ⃗e φ
⎝ ∂
⎠
∂r
∂
∂θ
∂
∂φ
A r A θ r A φ r sin θ
[(
1 ∂
r 2 sin θ ∂θ (A φr sin θ) − ∂ )
∂φ (A θr) ⃗e r
( ∂
+
∂φ (A r) − ∂ )
∂r (A φr sin θ) r⃗e θ
( ∂
+
∂r (A θr) − ∂ ) ]
∂θ (A r) r sin θ⃗e φ
(2.96)
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