Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

8.1 Dielektrika im elektrostatischen Feld
−
−
−−−
σ b
+
+
+
−
−
p
−
−
−
−
− + + + ++++
+
+
Abbildung 8.4: Als resultierende Ladung einer homogenen Polariation ⃗ P ergibt sich die
Oberflächenladung σ b
8.1.3 Beispiel: Elektrisches Feld einer gleichförmig polarisierten Kugel vom
Radius R
Wir legen die z-Achse unseres Koordinatensystems parallel zur Polarisationsrichtung der
Kugel (siehe Abb. 8.5). Die Volumenladung ist ρ b = 0, weil bei gleichförmiger Polarisation
| P ⃗ | = const., so dass div P ⃗ = 0.
Für die Oberflächenladung ergibt sich σ b = P ⃗ · ⃗n = P cos θ. Wir müssen also wie in Kap.
3.12.4 das elektrische Feld einer Kugel mit der Oberflächenladung σ b = P cos θ bestimmen.
Gemäß Gleichung (3.148) gilt für die Lösung der allgemeinen zylindersymmetrischen Laplace-
Gleichung
∞∑ (
A 0 (r, θ) = a n r n + b n r −(n+1)) P n (cos θ) . (8.6)
n=0
Für das Potential innerhalb der Kugel (r ≤ R) folgt mit µ = cos θ
und im Außenraum (r > R)
V i (r, µ) =
∞∑
A l r l P l (µ),
l=0
r ≤ R
V a (r, µ) =
∞∑
l=0
B l
r l+1 P l(µ), r > R .
Für die Randbedingungen an der Oberfläche gilt:
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