Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.11 Methode der konformen Abbildung bei ebenen Problemen
Damit folgt für die erste Cauchy-Riemannsche-Gleichung (3.122a)
oder
∂A(φ)
∂y
∂A(φ)
∂φ
= cos φ ∂A(φ)
r ∂φ
= −∂A 0(r)
= − cos φ ∂A 0(r)
,
∂x
∂r
= −r ∂A 0(r)
. (3.130)
∂r
Für die zweite Cauchy-Riemannsche-Gleichung (3.122b)
∂A(φ)
∂x
= − sin φ ∂A(φ)
r ∂φ
= ∂A 0(r)
= sin φ ∂A 0(r)
∂y
∂r
folgt ebenfalls Gleichung (3.130). Für alle r und φ muss die nur von φ abhängige linke Seite
dieser Gleichung gleich der nur von r abhängigen rechten Seite sein. Beide Seiten müssen
deshalb gleich einer Konstanten c sein:
Als Lösungen erhalten wir
r ∂A 0(r)
∂r
= − ∂A(φ)
∂φ = c .
A 0 (r) = c 1 + c ln r,
A(φ) = c 2 − cφ
mit den Integrationskonstanten c 1 und c 2 , die wir gleich Null setzen c 1 = c 2 = 0, d.h.
A 0 (r) = c ln r, A(φ) = −cφ . (3.131)
Gemäß Gleichung (3.129) folgt dann
w(η) = c (ln r + ıφ) = c ln η , (3.132)
mit η = r exp(ıφ) = r(cos φ + ı sin φ) = x + ıy. Für das elektrische Feld folgt dann
⃗E = −∇A ⃗ 0 (r) = − c r ⃗e r .
Die Bestimmungsgleichungen für die Feldlinien und Äquipotentiallinien erhalten wir aus der
Umkehrung der Transformation (3.132)
( ) ( )
w(η) A0 − ıA
η = x + ıy = exp = exp
c
c
( ) (
A0
= exp exp − ıA )
c
c
( ) [ (
A0
= exp cos − A ) (
+ ı sin − A )]
,
c
c
c
( ) ( )
A0 A
so dass x = exp cos ,
c c
( ) ( )
A0 A
y = − exp sin . (3.133)
c c
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