Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

5 Maxwell-Gleichungen
Wir erhalten also vier entkoppelte lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung für die
Potentialfelder Φ (⃗r, t), A x (⃗r, t), A y (⃗r, t) und A z (⃗r, t). Aufgrund der Lorenz-Eichung (5.35)
sind nur drei dieser vier Felder unabhängig voneinander.
Jede Komponente der Gleichung (5.37) hat dieselbe Wellen-Gleichungsstruktur wie die
skalare Gleichung (5.36). Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf Gleichung
(5.36) beschränken. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (5.36) ist gleich der
Summe aus einer partikulären Lösung Φ part von (5.36) und der homogenen Lösung Φ hom :
wobei Φ hom der zu (5.36) homogenen Gleichung
Φ (⃗r, t) = Φ hom (⃗r, t) + Φ part (⃗r, t) , (5.38)
genügt.
∆Φ hom (⃗r, t) − 1 c 2 ∂ 2 Φ hom (⃗r, t)
∂t 2 = 0 (5.39)
5.5.2 Coulomb-Eichung
Eine andere nützliche Eichung der Potentiale ist die Coulomb-Eichung
div A ⃗ (⃗r, t) = 0 . (5.40)
Damit wird Gleichung (5.23) für das skalare Potential sehr einfach zur Poisson-Gleichung
∆Φ (⃗r, t) = −4πρ (⃗r, t) (5.41)
mit der Lösung (siehe Gleichung (3.14))
∫
Φ (⃗r, t) =
( )
ρ ⃗r ′ , t
d 3 r ′ . (5.42)
|⃗r − ⃗r ′ |
Φ ist das instantane Coulomb-Potential der Ladungsdichte ρ (daher auch der Name Coulomb-
Eichung).
Der Nachteil der Coulomb-Eichung ist die verbleibende komplizierte Gleichung für das Vektorpotential,
denn nach Gleichung (5.25) und (5.40) gilt
⊓A ⃗ (⃗r, t) = 4π c ⃗ j (⃗r, t) − 1 ∇
c ⃗ ∂Φ (⃗r, t)
. (5.43)
∂t
Setzen wir die Lösung (5.42) ein, erhalten wir mit der Ladungserhaltungsgleichung (5.18)
⊓ ⃗ A (⃗r, t) = 4π c ⃗ j (⃗r, t) − 1 c ⃗ ∇ r
∫
= 4π c ⃗ j (⃗r, t) + 1 c ⃗ ∇ r
∫
d 3 r ′ ∂ρ(⃗r′ , t) 1
∂t |⃗r − ⃗r ′ |
( )
div ⃗j ⃗r ′ , t
d 3 r ′ . (5.44)
|⃗r − ⃗r ′ |
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