Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

7 Kovariante Formulierung der Maxwell-Theorie
in einen Anteil ⃗r ‖ ‖ V ⃗ und ⃗r ⊥ ⊥ V ⃗ aufspaltet. Aus Gleichungen (7.1) folgt dann
( )
⃗r ′ ⊥ = ⃗r ⊥, ⃗r ′ ‖
(⃗r = γ ‖ − V ⃗ )
⃗V · ⃗r
t , t ′ ‖
= γ t −
c 2 . (7.4)
Weil aber
(
⃗r · ⃗V
)
⃗V
⃗r ‖ =
V 2 , ⃗r ⊥ = ⃗r − ⃗r ‖
folgen mit Gleichungen (7.4)
( )
⃗r ′ = ⃗r ′ ⊥ + ⃗r′ ‖ = ⃗r ⊥ + γ ⃗r ‖ − V ⃗ t
(
⃗r · ⃗V
) ⎛(
⃗V ⃗r · ⃗V
) ⎞ ⃗V
= ⃗r − + γ ⎝ − V ⃗ t⎠
V 2
= ⃗r + γ − 1 (
V 2 ⃗r · ⃗V
)
⃗V − γV ⃗ t (7.5)
⎛
⃗V
und t ′ · (⃗r·⃗V ) ⃗ ⎞
V
( )
V
= γ ⎝t −
2 ⎠
⃗r · ⃗V
c 2 = γ t −
c 2 (7.6)
als allgemeine Transformationsgleichungen.
Wir betrachten zunächst die Invarianz der skalaren Wellengleichung (6.7)
⃗∇ 2 Φ − 1 ∂ 2
c 2 ∂t 2 Φ = 0 (7.7)
bei Lorentz-Transformation. Es gilt für die partiellen Ableitungen
Damit folgt
und
∂
∂x = ∂x′
∂x
∂
= ∂x′
∂t ∂t
∂
∂y
= ∂
∂y ′ ,
∂ 2
∂y 2 = ∂2
∂ 2
∂x 2 =
∂ 2
∂t 2 =
∂
∂x ′
∂
∂x ′
+ ∂t′ ∂
∂x ∂t ′
+ ∂t′ ∂
∂t ∂t ′
∂
∂z =
∂y ′ 2 , ∂ 2
∂z 2 =
(
γ ∂ − V γ
∂x ′
c 2
V 2
= γ ∂
∂x ′
− V γ
c 2
= −V γ ∂
∂x ′
∂ .
∂z ′
∂2
∂z ′ 2 ,
) (
∂
γ ∂
∂t ′ ∂x ′
= γ 2 ∂2
∂x ′ 2 + V 2 γ 2 ∂ 2
c 4 ∂t ′ 2
(
γ ∂
∂t ′
− V γ
c 2
∂
∂t ′ ,
+ γ ∂
∂t ′ ,
)
∂
∂t ′
− 2V
γ2
c 2 ∂ 2
∂x ′ ∂t ′
− V γ ∂ ) (
γ ∂ − V γ ∂ )
∂x ′ ∂t ′
∂x ′
= γ 2 ∂2
∂t ′ 2 + V 2 γ 2 ∂2
∂x ′ 2 − ∂ 2
2γ2 V .
∂x ′ ∂t ′
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