Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
Aus E z = 0 folgt dann
∂A ′ y
∂x
= ∂A′ x
∂y
und speziell A ′ x = A ′ y = 0 , (3.120)
was wir als Zusatzforderung an das elektrostatische Vektorpotential für ebene Probleme
auffassen. Wir erhalten also einfach
⃗A ′ = (0, 0, A(x, y)) mit A = A ′ z . (3.121)
Damit haben wir einerseits nach Gleichung (3.116) E ⃗ = −grad A 0 und andererseits nach
Gleichung (3.118) E ⃗ = rot A ⃗′ , oder in unserem Fall
{
−
∂A 0
∂x
E x =
∂A
∂y
{
−
∂A 0
∂y
und E y =
− ∂A ,
∂x
so dass gelten muss
∂A
∂y
= − ∂A 0
∂x ,
∂A
∂x = ∂A 0
∂y , (3.122)
Die Gleichungen (3.122) fasst man als Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen für die
komplexe Funktion
w(η) = A 0 − ıA, η = x + ıy (3.123)
auf. Die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen für den Real- und Imaginärteil
der komplexen Funktion w(η) besagt, dass w(η) eine analytische Funktion des
komplexen Arguments η = x + ıy ist. Analytisch heißt: In jedem Punkt η der komplexen
Ebene besitzt w(η) eine eindeutige Ableitung, unabhängig von der Richtung, in der diese
gewählt wird. Die analytische Funktion w(η) vermittelt eine konforme (d.h. winkeltreue)
Abbildung der komplexen η-Ebene auf die komplexe w-Ebene (siehe Abbildung 3.15).
y
η− Ebene
konforme
x Abb. w (η)
−i A
w−Ebene
A 0
Feldlinien (3.121)
Äquipotentiallinien
(3.122)
Abbildung 3.15: Zur konformen Abbildung w
Bedeutung von A und A 0 : Die Kraftlinien des elektrischen Feldes werden in der η-Ebene
durch die Gleichung
dy
dx = E y
E x
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