Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Ebenso hätten wir auch x = 2y als Funktion von y ausdrücken können, um dann über die
Variable y zu integrieren.
2.6.2 Integration von Divergenzen
Das Gauss-Theorem für die Volumen-Integration von Divergenzen lautet
∫ ( ) ∮
⃗∇ · ⃗v dτ = ⃗v · d⃗a . (2.101)
V
Das Integral einer Divergenz über ein Gebiet (hier ein Volumen) ist gleich dem Wert der
Funktion am Rand des Gebiets (hier die Oberfläche des Volumens). Dabei ist dτ = dxdydz
und
∫ ∫ ∫ ∫
dτ = dx dy dz .
V
Anders als vorher, ist der Randterm selbst ein Integral, hier speziell das Oberflächenintegral
∮
⃗v · d⃗a . (2.102)
S
So wie der Rand eines Weges durch die beiden Endpunkte des Wegs bestimmt ist, ist hier der
Rand des Volumens die ganze Oberfläche des Volumens. d⃗a repräsentiert ein infinitesimales
Element der Oberfläche: d⃗a ist der Vektor mit dem Absolutwert gleich dem infinitesimalen
Flächenelement da und der Richtung normal zur Oberfläche nach außen.
Dies illustrieren wir am Beispiel des in Abb. 2.8 gezeigten Einheitsquaders mit dem Volumenelement
dτ = dxdydz. Für die Vorderseite des Quaders gilt d⃗a 1 = (dydz)⃗i, für die rechte
Seite d⃗a 2 = (dxdz)⃗j,und für den Boden d⃗a 3 = (dydz)(− ⃗ k).
Das Integral (2.102) enthält die Normalkomponente des Vektors ⃗v integriert über eine Oberfläche
(das Skalarprodukt “pickt” die Normalkomponente heraus) und wird als Fluss von
⃗v durch diese Oberfläche bezeichnet. Sei ⃗v etwa die Geschwindigkeit einer Strömung, dann
ist der Fluss von ⃗v einfach die gesamte Menge der Strömung, die pro Zeiteinheit durch die
Oberfläche fliesst. Die Divergenz wurde als Maß für das “Auseinanderfließen” eines Vektors
interpretiert. Je divergenter (d.h. je stärker der Vektor auseinanderfließt) desto größer ist der
Fluss durch die Oberfläche.
Beispiel: Wir überprüfen den Gaußschen Satz für die Funktion
im Einheitsquader. In diesem Fall ist
⃗v = y 2 ⃗i + ( 2xy + z 2) ⃗j + 2yz ⃗ k
S
so dass
2
∫ 1
0
∫
⃗∇ · ⃗v = ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
= 0 + 2x + 2y = 2(x + y) ,
∂z
( ) ∫ 1 ∫ 1
[∫ 1
]
⃗∇ · ⃗v dτ = 2 dz dy dx(x + y) =
V
∫ 1
dz
0
0
[ ] 1
dy
2 + y = 2
0
∫ 1
0
dz
0
[ y
2 + y2
2
] 1
0
= 2[z] 1 0 = 2 . (2.103)
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