Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
6.1.5 Energiedichte und Poynting-Vektor der ebenen, monochromatischen
Welle
Die Energiedichte der monochromatischen Welle ergibt sich aus dem zeitlichen Mittel der
Summe der Quadrate der Feldstärke E ⃗ und der Induktion B. ⃗ Bei der Berechnung der Quadrate
müssen wir beachten, dass nur die Realteile von E ⃗ und B ⃗ quadriert werden dürfen.
Das Zeitmittel bezeichnet die Mittelung der Größe a(t)
a(t) = 1 τ
∫ t+τ
t
dt ′ a
(t ′)
über eine Periode τ = 2π/ω.
Wir betrachten das Skalarprodukt der Realteile zweier komplexer Vektoren ⃗a und ⃗ b:
Mit
(
(R⃗a) · R ⃗ )
⃗a + ⃗a∗
b = · ⃗b + ⃗ b ∗
2 2
= 1 4
⃗a (⃗r, t) = ⃗a 0 (⃗r) e −ıωt
und ⃗ b (⃗r, t) = ⃗ b0 (⃗r) e −ıωt
[
⃗a ·⃗b + ⃗a ·⃗b ∗ + ⃗a ∗ ·⃗b + ⃗a ∗ ·⃗b ∗] . (6.26)
folgt ⃗a ·⃗b = ⃗a 0 ·⃗b 0 e −2ıωt ,
so dass ⃗a ·⃗b = ⃗a ∫
0 ·⃗b t+τ 0
dt ′ exp
(−2ıωt ′)
τ t
ı
[
=
2ωτ ⃗a 0 ·⃗b 0 exp
(−2ıωt ′)] t+τ
t
ı
=
2ωτ ⃗a 0 ·⃗b 0 exp (−2ıωt) [exp (−2ıωτ) − 1] = 0
mit ωτ = 2π .
Ebenso folgt aus
⃗a ∗ ·⃗b ∗ = ⃗a ∗ 0 ·⃗b ∗ 0e 2ıωt ,
dass ⃗a ∗ ·⃗b ∗ = 0 .
Dagegen sind
⃗a ·⃗b ∗ = ⃗a 0 ·⃗b ∗ 0
und ⃗a ∗ ·⃗b = ⃗a ∗ 0 ·⃗b 0 ,
so dass ⃗a ·⃗b ∗ = ⃗a 0 ·⃗b ∗ 0 = 1 τ ⃗a 0 ·⃗b ∗ 0
∫ t+τ
t
dt ′ = ⃗a 0 ·⃗b ∗ 0
und ⃗a ∗ ·⃗b = ⃗a ∗ 0 ·⃗b 0 .
Damit erhalten wir für das zeitliche Mittel von Gleichung (6.26)
R⃗a · R ⃗ b = 1 ) (⃗a 0 ·⃗b ∗ 0 + ⃗a ∗ 0 ·⃗b 0 = 1 ( )
4
2 R ⃗a 0 ·⃗b ∗ 0
.
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