Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

6.4 Der Hertzsche Dipol
Machen wir die zusätzliche Annahme langer Wellenlängen der Schwingungsbewegung λ ≫
r0 max , so ist nach der Abschätzung (6.112) v/c ≪ 1 vernachlässigbar klein. Deshalb vernachlässigen
wir Terme der Größenordnung (v/c) 2 bei der Entwicklung der Nenner der Gleichungen
(6.110) und (6.111). Für das Vektorpotential (6.111) erhalten wir dann
e ˙⃗r
(
c 0 t ′)
⃗A (⃗r, t) ≃ − ∣
2 |⃗r|
e ˙⃗r
(
0 t ′)
= − ∣
cr
∣
t ′ =t− r c
∣
t ′ =t− r c
e ˙⃗r
(
c 0 t ′)
− ∣
2 |⃗r|
˙⃗p
(t ′)
= ∣
cr
∣
t ′ =t− r c
∣
t ′ =t− r c
=
˙⃗p ( t − r )
c
cr
. (6.113)
Nach der Lorenz-Eichung ist
1 ∂Φ
c ∂t + div A ⃗ = 0 ,
so dass aus Gleichung (6.113) folgt
∂Φ
∂t = −c div ⃗ A = −div
( ( ) ˙⃗p t −
r
c
r
)
.
Weil r zeitunabhängig ist, erhalten wir
Φ = −∇ ⃗ · 1 ∫
r
dt ˙⃗p
(
t − r )
= −∇ c
⃗ ·
[ (
⃗p t −
r
c
r
)]
. (6.114)
Mit div (f⃗a) = (grad f) · ⃗a + fdiv ⃗a folgt
[ ( )]
⃗p t −
r
c
⃗∇ ·
r
(
= ⃗∇ 1 )
· ⃗p + 1 [ (
⃗∇ · ⃗p t − r )]
r r
c
⃗p · ⃗r
= −
r 3 + 1 [ (
⃗∇ · ⃗p t − r )]
. (6.115)
r
c
Im Sinn einer Fourier-Transformation ist
(
⃗p t − r )
c
=
=
∫
∫
( (
dω ⃗p ω exp −ıω t − r ))
c
( ( ))
dω ⃗p ω exp ı ⃗k · ⃗r − ωt
(6.116)
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