Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

4 Magnetostatik
Weil div rot = 0, folgt aus Gleichung (4.27) sofort
und wegen rot rot = grad div − ∆
div ⃗ B = 0 (4.32)
rot B ⃗ = 1 ∫
∇
c ⃗ r × ∇ ⃗ r ×
= 1 ∫
∇
c ⃗ r
⃗j
(⃗r ′)
d 3 r ′ |⃗r − ⃗r ′ |
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ 1
r
|⃗r − ⃗r ′ | − 1 c
∫
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) 1
∆ r
|⃗r − ⃗r ′ | .
Im ersten Integral verwenden wir Beziehung (4.30), im zweiten Integral Beziehung (2.136)
Dann erhalten wir
rot B ⃗ = 4π c
also rot B ⃗ = 4π c ⃗ j (⃗r) − 1 ∫
∇
c ⃗ r
∫
∆ r
1
|⃗r − ⃗r ′ | = −4πδ (
⃗r − ⃗r ′) .
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) δ
(⃗r − ⃗r ′) − 1 ∫
∇
c ⃗ r
V
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ r
′
V
(
d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ 1
r
′
|⃗r − ⃗r ′ | ,
1
|⃗r − ⃗r ′ | . (4.33)
Nun ist mit der Produktregel (2.59) und der magnetostatischen Kontinuitätsgleichung (4.11)
( (
⃗∇ r
′ · ⃗j ⃗r ′) )
1
|⃗r − ⃗r ′ |
(
= ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ r
′
(
= ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ r
′
1
|⃗r − ⃗r ′ | + 1
1
|⃗r − ⃗r ′ | .
|⃗r − ⃗r ′ | div ⃗j
(⃗r ′)
Für den 2. Term in Gleichung (4.33) folgt dann mit dem Gauß-Theorem (2.101)
T 2 = − 1 ∫
∇
c ⃗ (
r d 3 r ′ ⃗j ⃗r ′) · ⃗∇ 1
r
′
V
|⃗r − ⃗r ′ |
⎛
= − 1 ∫
⃗j
(⃗r ′) ⎞
∇
c ⃗ r d 3 r ′ ∇r ⃗ ′ · ⎝ ⎠
V
|⃗r − ⃗r ′ |
= − 1 ∮ ⃗j
(⃗r ′)
∇
c ⃗ r df ⃗ ′ ·
|⃗r − ⃗r ′ | = 0 ,
O(V )
weil das Oberflächenintegral im Unendlichen (r ′ → ∞) verschwindet.
Nach Gleichung (4.33) verbleibt
rot ⃗ B (⃗r) = 4π c ⃗ j (⃗r) .
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