Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
2.5 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
2.5.1 Grundgleichungen
Neben den kartesischen Koordinaten x i = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x, y, z) betrachten wir die allgemeinen
krummlinigen Koordianten q i = (q 1 , q 2 , q 3 ). Nach Kap. (2.2.2) bilden wir die neuen
Einheitsvektoren
⃗e qi = 1 h i
∂⃗r/∂q i , (2.71)
mit dem Skalenfaktor
h i = |∂⃗r/∂q i | . (2.72)
Wir nehmen an, dass die neuen Einheitsvektoren ⃗e q1 , ⃗e q2 und ⃗e q3 ein rechtshändiges orthogonales
Koordinatensystem bilden, d.h.
Aus ⃗r = ⃗r(q i ) folgt mit Gleichung (2.18)
⃗e qν · ⃗e qµ = δ νµ , µ, ν = 1, 2, 3 . (2.73)
d⃗r = (∂⃗r/∂q 1 ) dq 1 + (∂⃗r/∂q 2 ) dq 2 + (∂⃗r/∂q 3 ) dq 3
3∑
= h 1 dq 1 ⃗e q1 + h 2 dq 2 ⃗e q2 + h 3 dq 3 ⃗e q3 = h i dq i ⃗e qi . (2.74)
Für das Quadrat der Bogenlänge erhalten wir dann unter Ausnutzung von Gleichung (2.73)
i=1
(ds) 2 = d⃗r · d⃗r =
=
3∑ 3∑
h ν h µ dq ν dq µ ⃗e qν · ⃗e qµ
ν=1 µ=1
3∑
h 2 µdqµ 2 = h 2 1dq1 2 + h 2 2dq2 2 + h 2 3dq3 2 , (2.75)
µ=1
während für das Volumenelement gilt
2.5.2 Gradient
Gemäß Gleichung (2.38) gilt
Nach Gleichung (2.74) gilt
dV = d 3 r = |h 1 dq 1 ⃗e q1 · [h 2 dq 2 ⃗e q2 × h 3 dq 3 ⃗e q3 ]|
= h 1 h 2 h 3 dq 1 dq 2 dq 3 |⃗e q1 · (⃗e q2 × ⃗e q3 )|
= h 1 h 2 h 3 dq 1 dq 2 dq 3 . (2.76)
dψ = ⃗ ∇ψ · d⃗r = ∂ψ
∂q 1
dq 1 + ∂ψ
∂q 2
dq 2 + ∂ψ
∂q 3
dq 3 . (2.77)
d⃗r = h 1 dq 1 ⃗e q1 + h 2 dq 2 ⃗e q2 + h 3 dq 3 ⃗e q3 . (2.78)
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