Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3 Elektrostatik
P l
4
(µ)
P 3
P 2
P 1
3
2
1
P 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2
mu
3 4
–1
µ
–2
–3
–4
Abbildung 3.10: Die Legendre-Polynome P l (µ) für l = 0 . . . 3
Integrieren wir diese Gleichung über µ, so folgt
[n(n + 1) − l(l + 1)]
=
=
∫ 1
−1
dµP l (µ)P n (µ)
∫ 1
dµ d [ (1
− µ
2 ) P l (µ) dP n(µ)
− ( 1 − µ 2) P n (µ) dP ]
l(µ)
−1 dµ
dµ
dµ
[ (1
− µ
2 ) [ P l (µ) dP n(µ)
− P n (µ) dP ] ] 1
l(µ)
= 0
dµ
dµ
−1
aufgrund des Faktors (1 − µ 2 ). Für l ≠ n folgt daher die Orthogonalitätsrelation
∫ 1
−1
dµP l (µ)P n (µ) = 0 . (3.86)
Übungsaufgabe:
Beweisen Sie die Orthonormalitätsrelation
3.9.3 Multipolentwicklungen
∫ 1
−1
dµP 2 n(µ) = 2
2n + 1 . (3.87)
Da wir nun die Legendre-Polynome explizit kennen, können wir die Multipole (3.70) Q l
berechnen. Wir erhalten für den Multipol niedrigster Ordnung
∫ (
Q 0 = d 3 r ′ ρ ⃗r ′) ∫ (
· 1 = d 3 r ′ ρ ⃗r ′) = Q Gesamtladung (3.88)
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