Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

2 Mathematische Vorüberlegungen
Beweis der Darstellung (2.116):
Zunächst gilt ∀x ≠ 0
Weiterhin erhalten wir ∀n
lim δ n(x) = 0 .
n→∞
∫ ∞
∞
∫ 1/2n
dx δ n (x) = n
−1/2n
dx = 1 ,
d.h. die Funktion δ n (x) ist definiert ∀n ≠ 0 und der Grenzwert
ist definiert und gleich 1.
Weiterhin gilt mit c = 1 n
∫ ∞
lim
n→∞
∞
dx δ n (x) = 1
lim
n→∞
∫ ∞
∞
∫ 1/2n
dx f(x)δ n (x) = lim n
n→∞
1
= lim
c→0 c
−1/2n
∫ c/2
−c/2
dx f(x)
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (siehe Einschub 2.7.3) ist
∫ c/2
−c/2
dx f(x) . (2.119)
∫ c/2
dx f(x) = f (ξc) dx = cf (ξc) (2.120)
−c/2
mit −1/2 ≤ ξ ≤ 1/2. Setzen wir dieses Ergebnis auf der rechten Seite von Gleichung (2.119)
ein, so folgt für den Grenzwert
lim
n→∞
∫ ∞
∞
dx f(x)δ n (x) = lim
c→0
f (ξc) = f(0)
womit nach Gleichung (2.112) die Approximation (2.116) bewiesen ist.
2.7.3 Einschub: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Für jede beliebige stetige Funktion F (x) im Intervall a ≤ x ≤ b existiert ein Punkt t mit
a ≤ t ≤ b derart, dass
F ′ (t) = dF
dx | F (b) − F (a)
x=t = . (2.121)
b − a
Ist nun F (x) = ∫ x f(s)ds die Stammfunktion von f(x), so ist F ′ (t) = f(t) und ∫ b
a f(x)dx =
F (b) − F (a). Aus Gleichung (2.121) folgt dann
f(t) = 1
b − a
∫ b
a
f(x)dx
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