Elektrodynamik - Theoretische Physik IV - Ruhr-Universität Bochum

3.9 Entwicklung des skalaren Potentials einer statischen,begrenzten Ladungsverteilung nach Multipolen
Der Koeffizientenvergleich für jede Potenz von s mit m = n + 1 und l = n − 1 ergibt
P n+1(µ) ′ − 2µP n(µ) ′ + P n−1(µ) ′ − P n (µ) = 0
oder P n+1(µ) ′ + P n−1(µ) ′ = 2µP n(µ) ′ + P n (µ) . (3.73)
Wir multiplizieren diese Gleichung mit (2n + 1):
(a) (2n + 1)P n+1(µ) ′ + (2n + 1)P n−1(µ) ′ = 2(2n + 1)µP n(µ) ′ + (2n + 1)P n (µ) .
Wir differenzieren die Rekursionsbeziehung (3.72) nach µ:
(2n + 1)P n (µ) + (2n + 1)µP n(µ) ′ = (n + 1)P n+1(µ) ′ + nP n−1(µ)
′
und multiplizieren das Ergebnis mit dem Faktor 2:
(b) 2(2n + 1)P n (µ) + 2(2n + 1)µP n(µ) ′ = 2(n + 1)P n+1(µ) ′ + 2nP n−1(µ) ′ .
Die Addition der Gleichungen (a) und (b) ergibt
(2n + 1)P ′ n+1 + (2n + 1)P ′ n−1 + 2(2n + 1)P n + 2µ(2n + 1)P ′ n
oder nach Ordnen
= 2µ(2n + 1)P ′ n + (2n + 1)P n + 2(n + 1)P ′ n+1 + 2nP ′ n−1
[2(2n + 1) − (2n + 1)] P n = [2(n + 1) − (2n + 1)] P ′ n+1
+ [2n − (2n + 1)] P ′ n−1 ,
also (2n + 1)P n (µ) = P n+1(µ) ′ − P n−1(µ) ′ . (3.74)
Lösen wir diese Gleichung nach P ′ n+1 auf,
P ′ n+1 = (2n + 1)P n + P ′ n−1 ,
und setzen nach (3.73)
P ′ n−1 = 2µP ′ n + P n − P ′ n+1
ein, so folgt
2P ′ n+1 = 2(n + 1)P n + 2µP ′ n
oder P n+1(µ) ′ = (n + 1)P n (µ) + µP n(µ) ′ . (3.75)
Ebenso können wir Gleichung (3.74) auch nach P ′ n−1 auflösen,
P ′ n−1 = P ′ n+1 − (2n + 1)P n ,
und nach (3.75) P ′ n+1 einsetzen:
P ′ n−1 = (n + 1)P n + µP ′ n − (2n + 1)P n = µP ′ n − nP n .
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