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Leptonische Zerfallsprozesse 83
p 3 = (E, 0, 0, p z ) – Elektronimpuls,
p 4 – Antineutrinoimpuls (6.13)
und ergänzen diese um diejenigen, die die Spins betreffen:
n 1 = (0, ⃗n 1 ) = (0, n x 1, n y 1, n z 1) – Myonspin in einer festen Richtung ⃗n 1 ,
n 3 – Elektronspin,
⃗p 3 · ⃗n 1 = |p z | cos θ – mit dem Winkel θ zwischen dem
Elektronimpuls und dem Myonspin (6.14)
Das Vorgehen, um die totale und die in der Elektronenergie differenzielle Breite zu berechnen,
wurde bereits im vorigen Abschnitt 6.1 beschrieben (siehe Glgn. (6.1) ff.). Im vorliegenden
Fall ist mit der Polarsation des Myons eine räumliche Richtung ausgezeichnet.
Deshalb ist auch die Verteilung im Winkel θ von Interesse. Zur hier durchgeführten Rechnung
nutzen wir aus, dass jeder Term im quadrierten Matrixelement entweder unabhängig
von p 2 und p 4 oder proportional zu p α 2 und p β 4 ist. Demnach sind mit der Kenntnis der
Integrale
∫
I = (2π) 4 δ (4) d 3 p 2 d 3 p 4
(k − p 2 − p 4 )
= π (6.15)
(2π) 3 2p 0 2 (2π) 3 2p 0 4 2
∫
I αβ = (2π) 4 δ (4) d 3 p 2 d 3 p 4
(k − p 2 − p 4 )
p α
(2π) 3 2p 0 2 (2π) 3 2p 0 2 p β 4
4
= π ( )
1
12 2 k2 g αβ + k α k β , (6.16)
die Integrationen über d 3 p 2 , d 3 p 4 für beliebige Vierervektoren k trivial. Unter Ausnutzung
der Spinorprodukte für polarisierte Teilchen
u(p i )ū(p i ) = (p/ i + m) 1 2 (1 + γ 5n / i ), i = 1, 3 (6.17)
der Orthogonalität zwischen 4-Impuls und Spin (d.h. p 1 · n 1 = 0, p 3 · n 3 = 0), sowie der
verschwindenden Neutrinomassen erhält man schließlich, nach der Integration über den
Azimutwinkel, die differenzielle Zerfallsbreite vollständig polarisierter Myonen
dΓ = p z dE dcos θ
64π 3 m × (6.18)
[
(|CS
| 2 + |C ′ S| 2 + |C P | 2 + |C ′ P | 2) k 2 ((p 1 · p 3 ) − m m e (n 1 · n 3 ))
− ( |C 2 S + |C ′ S| 2 − |C P | 2 − |C ′ P | 2) k 2 ((p 1 · p 3 ) (n 1 · n 3 ) − (p 1 · n 3 ) (p 3 · n 1 ) − m m e )
− (C S C ′∗
P + C ′ SC ∗ P + C ′ P C ∗ S + C P C ′∗
S ) k 2 (m(n 1 · p 3 ) − m e (n 3 · p 1 ))