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142 9.1 Vorbemerkungen zu Zerfällen der geladenen Mesonen
Sind von theoretischer Seite mehr Einzelheiten über dieses Matrixelement bekannt, kann
man aus den in den folgenden Tabellen angegebenen Ergebnissen den Parameter c S entsprechend
eliminieren.
Anhand der in Kapitel 4 konstruierten Operatoren sieht man, dass skalare und tensorielle
Kopplungen sowie solche, die Ableitungen der Quarkfelder enthalten, möglich sind. Tensorielle
Kopplungen spielen im Folgenden keine Rolle. Matrixelemente, die Ableitungen enthalten,
drücken wir durch neue dimensionslose Parameter c i , die Meson-Zerfallskonstante
f M und den Meson-Impuls aus. Unter Berücksichtigung der richtigen Dimension erhält
man schließlich die notwendigen Definitionen:
〈
0| ∂µ Q P L/R Q ′ | M 〉 := ∓ic D fM
2
S p µ (9.13)
2
〈
0| Q PL/R ∂ µ Q ′ | M 〉 := ∓ic D′ fM
2
S p µ (9.14)
2
In Anlehnung an die übliche Konvention versehen wir die Definitionen (9.13) und (9.14)
mit dem Faktor i/2, da in den Matrixlemenenten ein Impulsoperator auftritt. Glg. (9.12)
wählen wir entsprechend ohne den Phasenfaktor. Die Parameter c S , c D S und cD′ S können
einen Einfluss auf die Zerfälle geladener Mesonen haben. Die rechtshändigen, vektoriell
gekoppelten Quarks erfüllen gemäß Glg. (9.2 )
〈
0| Qγ µ P R Q ′ |M 〉 = ip µ f M
2 . (9.15)
Bei den tensoriellen Kopplungen der hadronischen Operatoren tritt eine Besonderheit auf,
da sie stets in Verbindung mit dem Feldstärketensor des Eichfeldes vorkommen. Die resultierenden
Matrixelemente sind proportional zu (p lep · p M )k ν − (p lep · k)p ν M , wobei p lep den
Impuls eines der auslaufenden Leptonen beschreibt, p M für den Meson-Impuls steht und k
der Impuls des Eichbosons ist. Aufgrund der Kinematik trägt das Eichboson den Impuls
k = p π . Deshalb verschwindet der Vorfaktor und damit der gesamte Beitrag des Operators
mit vektorieller bzw. tensorieller Kopplung 3 . Diese Matrixelemente müssen also nicht mit
Hilfe von weiteren unbekannten Konstanten c i parametrisiert werden.
Unter Benutzung obiger Definitionen (9.12)-(9.14) für die c i kann man die Mesonzerfallskonstante
schließlich mittels (9.2) ebenso aus dem Verhältnis der Mesonzerfallsbreiten eliminieren,
wie oben beschrieben. Durch eine Umdefinition der bisher benutzten effektiven
Kopplungskonstanten
α → α c i = α ′ (9.16)
lassen sich auch in der Situation, dass keine (V − A)-Kopplung vorliegt, sinnvolle Grenzwerte
berechnen. Sie beziehen sich dann nicht wie bisher üblich alleine auf die neue Kopplungskonstante,
sondern auf den neu eingeführten Parameter c i und die effektive Kopplungskonstante
α gleichzeitig. Weiterhin ist zu bemerken, dass die c i genau wie die Zerfallskonstante
f M für verschiedene Mesonen unterschiedliche Werte annehmen können. Auf
3 Diese Argumentation bleibt auch für leptonische Operatoren mit Tensorkopplung richtig.