PDF - THEP Mainz

42 4.3 Supersymmetrie
um je eine links- und rechts-chirale Grassmann-Variable θ, θ ∗ zu erweitern. Ein Superfeld
Φ(x µ , θ, θ ∗ ) ist ein Feld, das sowohl von den spinorartigen Grössen θ, θ ∗ als auch von den
Ortskoordinaten x µ abhängt. Man unterscheidet zwei Arten von Superfeldern. Die linkschiralen
hängen nur von θ und x µ ab, die rechts-chiralen hängen dagegen von θ ∗ und x µ
ab. Die Entwicklung eines links-chiralen 4 Superfeldes in der Grassmann-Variable θ, das
zur Beschreibung der ”
Materie-“Felder, die den Fermionfeldern des SMs entsprechen, und
deren Superpartner dient, lautet dann
Φ(x µ , θ) = φ(x µ ) + θ · χ(x µ ) + 1 2 θ · θF (xµ ), (4.8)
wobei φ das komplexe skalare Feld, χ das fermionische Feld und F ein Hilfsfeld bezeichnen
5 . Für jedes einzelne der fermionischen SM-Felder χ muss in einem SUSY-Modell ein
chirales Supermultiplett Φ eingeführt werden. Beide tregen im Weiteren einen Index i.
Die Einführung des Hilfsfeldes F ist notwendig, da die Anzahl der Freiheitsgrade des
skalaren Feldes (zwei reelle) und des chiralen Feldes (vier reelle) nicht übereinstimmen.
Der fermionische Charakter der Variable θ lässt die Entwicklung nach dem in θ quadratischen
Term abbrechen. Die technischen Einzelheiten dieser erweiterten Raumzeitsymmetrie
sind im Weiteren nicht wesentlich, deshalb verweisen wir die interessierte Leserin
an die ausführliche Diskussion der Transformationseigenschaften in [84]. Wir weisen lediglich
darauf hin, dass SUSY-Modelle besonders deshalb als reizvolle Erweiterungen des
SM erscheinen, weil sie automatisch eine Verbindung zur Gravitation herstellen können.
Der Kommutator der SUSY-Generatoren ist nicht geschlossen, sondern proportional zum
Viererimpuls, dem Generator der Raumzeit-Translation.
Ein einfaches supersymmetrisches Modell wurde in [83] vorgestellt. Die freie Lagrange-
Dichte des Wess-Zumino-Modells lautet
L WZ
free = ∂ µ φ † i ∂µ φ i + χ † i i¯σµ ∂ µ χ i + F †
i F i (4.9)
für masselose Supermultipletts Φ i ohne Wechselwirkung. Diese Lagrange-Dichte ist ein
Lorentz-Skalar, der sowohl invariant unter SUSY-Transformationen als auch unter U(1) ×
SU(2) × SU(3)-Eichtransformationen ist. Um diese Lagrange-Dichte um die allgemeinsten
renormierbaren Wechselwirkungsterme
L WW = W i (Φ, Φ † )F i − 1 2 W ij(Φ, Φ † )χ i · χ j + h.c., (4.10)
zu ergänzen, ist die Einführung des Superpotenzials W nützlich. Aus der Forderung nach
Invarianz der Wirkung unter SUSY-Transformationen folgt, dass W nicht von Φ † abhängen
4 Eine äquivalente Formulierung der Theorie umfasst aussschliesslich rechts-chirale Superfelder Φ(x µ , θ ∗ )
und deren Entwicklung um θ ∗ .
5 Unter dem dot-Produkt ist im Zusammenhang mit linkshändigen Spinoren χ · ξ = χ a ξ a = χ 1 ξ 1 + χ 2 ξ 2 =
(χ 1 χ 2 ) ( ξ 1
)
ξ 2
= χ2 ξ 1 − χ 1 ξ 2 zu verstehen. Dabei werden die Komponenten der links-händigen Spinoren
χ = ( χ 1
) (
χ 2
und ξ =
ξ1
)
ξ 2
durch untere Indizes beschrieben. Das Herauf- und Herunterziehen der Indizes
geschieht mit Hilfe des antisymmetrischen Tensors ɛ ab = i(σ 2 ) ab gemäß χ a = ɛ ab χ b .