PDF - THEP Mainz

70 6.1 Die Myon-Lebensdauer
Berechnung der totalen Zerfallsbreite
Aus Fermis goldener Regel ergibt sich der Zusammenhang zwischen differenzieller Lebensdauer,
Phasenraumvolumen und Matrixelement des Myonzerfalls
dΓ = 1
2m (2π)4 δ (4) d 3 p 2
(p 1 − p 2 − p 3 − p 4 )
(2π) 3 2p 0 2
d 3 p 3
(2π) 3 2p 0 3
d 3 p 4
(2π) 3 2p 0 |M fi | 2 (6.1)
4
mit den Teilchenimpulsen p 1 des zerfallenden Myons, p 2 des Myonneutrinos, p 3 des Elektrons
und p 4 des Elektronantineutrinos. Die Myon-Masse ist mit m bezeichnet. Das Betragsquadrat
des Übergangsmatrixelements lautet unter Vernachlässigung der Elektronmasse
|M fi | 2 = 128 G 2 µ (p 1 · p 4 ) (p 2 · p 3 ). (6.2)
Wir wählen eine Parametrisierung im Myon-Ruhesystem gemäß
p 1 = (m, 0, 0, 0), p 2 = (E ν , E ν sin θ, 0, E ν cos θ), p 3 = (E e , 0, 0, E e ) (6.3)
und eliminieren den Impuls des Elektron-Antineutrinos unter Ausnutzung der Energie-
Impuls-Erhaltung. Der Übergang zu dimensionslosen Größen
x i = 2 m E i,
i = ν, e
und Kugelkoordinaten im Impulsraum führt auf folgende Integrationen:
∫
m 1 ∫ 1 ∫ 1
(
Γ =
dx
16(2π) 3 e dx ν d cos θ |M fi | 2 δ cos θ − 1 + 2
)
(x e + x ν − 1)
0 1−x e −1
x e x ν
Experimentell ist man in der Lage u.a. die differenzielle, normierte Breite in Abhängigkeit
von der Elektronenergie zu bestimmen. Man kann die auf die gesamte Zerfallsbreite normierte
differenzielle Breite als Polynom in der normierten Elektronenergie mit gewissen
Koeffizienten a i ausdrücken:
1 dΓ
= ∑ Γ dx e
i
a i x i e (6.4)
Mit dem Standardmodell als zugrundeliegender Theorie hat die differenzielle Breite, wenn
es sich bei dem zerfallenden Myon um ein unpolarisiertes handelt, die Gestalt
dΓ
= G2 µm 5
dx e 96π (3 − 2x e)x 2 e. (6.5)
3
Integriert man schließlich über die Elektronenergie, so erhält man für die totale Zerfallsbreite
des unpolarisierten Myons
Γ =
∫ 1
0
dx e
dΓ
dx e
= G2 µm 5
192π 3 . (6.6)