PDF - THEP Mainz

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B. Nützliche Relationen
B.1. Die Fierz-Transformation
Die allgemeinste, effektive 4F-Lagrangedichte hat, ohne Berücksichtigung von Kopplungen,
die proportional zu den Teilchenimpulsen sind (also Ableitungen enthalten), die Form
L (ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ 4 ) = −√ G ∑
ψ 1 Γ i ψ 2 ψ 3 [C i Γ i + C iΓ ′ i γ 5 ] ψ 4 .
2
i
(B.1)
Summiert wird über die fünf verschiedenen Kopplungsarten (Skalare, Pseudoskalare, Vektorielle,
Axiale , Tensorielle), wobei die Matrizen durch Γ S = 1, Γ V = γ µ , Γ T = σ µν ,
Γ P = γ 5 und Γ A = γ µ γ 5 definiert sind. Mit Hilfe der Fierz-Transformation kann in derartigen
Ausdrücken die Reihenfolge der Fermionoperatoren verändert werden (rearrangement
formula), sodass die Gleichung
L (ψ 1 , ψ 4 , ψ 3 , ψ 2 ) = −√ G ∑
ψ 1 Γ i ψ 4 ψ 3 [D i Γ i + D iΓ ′ i γ 5 ] ψ 2
2
i
(B.2)
erfüllt ist. Diagrammatisch entspricht die Änderung der Reihenfolge der Felder in der
Lagrangedichte einer Uminterpretation des 4F-Vertex.
¤£ ¢¥
¤£ ¥
¢¡
§¦
¢¡
¢¦
Die Parameter C i und D j werden durch eine lineare Abbildung miteinander in Beziehung
gesetzt:
⎛
⎜
⎝
D S
D V
D T
D A
D P
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
−1/4 −1/4 −1/8 1/4 −1/4
−1 1/2 0 1/2 1
−3 0 1/2 0 −3
1 1/2 0 1/2 −1
−1/4 1/4 −1/8 −1/4 −1/4
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
C S
C V
C T
C A
C P
⎞
⎟
⎠
(B.3)