PDF - THEP Mainz

Semileptonische Prozesse 145
p = (m π , 0, 0, 0), p 2 = p − p 1 (9.25)
und anschließender Phasenraumintegration
∫ √
Γ SM 1
l = dE
8πm 2 l El 2 − m 2 l |MSM l (E l )| 2 (9.26)
π
unter Ausnutzung der Energie-Impuls-Erhaltung E l = (m 2 π + m 2 l )/(2m π). Die totale Zerfallsbreite
lautet
Γ SM
l = cos2 θ C f 2 πG 2 F
8π
m 2 l (m2 l − m2 π) 2
. (9.27)
Das Ergebnis ist proportional zu der leichten Masse des Leptons. Im Grenzfall masseloser
Leptonen ist der Zerfall gemäß der V − A−Struktur des Standardmodells verboten. Streng
genommen koppeln die Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung nur an Teilchen mit
negativer und Antiteilchen mit positiver Helizität (spin flip). Wegen der nichtverschwindenden
Masse des Positrons, findet man im rechtshändigen Feld auch Anteile negativer
Helizität. Nur so können die Spins des auslaufenden Neutrinos und Positrons entgegengerichtet
sein und in der Summe den Spin des pseudoskalaren Pions ergeben. Der Übergang
π + → l + ν l findet statt, ist allerdings um den Faktor (m l /m π ) 2 unterdrückt.
Die aus den effektiven Operatoren resultierenden Matrixelemente, die den Prozess π → lν l ′
beschreiben, werden auf die gleiche Art integriert wie das Matrixlement des Standardmodells.
m 3 π
Der Beitrag der leptonischen Drei-Teilchen-Operatoren
Das Berechnen der Beiträge der leptonischen Operatoren weist die wenigsten Schwierigkeiten
auf, da die Physik am Quark-Boson-Vertex durch das Standardmodell beschrieben wird
und Gleichung (9.2) benutzt werden kann, um das hadronische Matrixelement zu eliminieren.
Es spielen nur diejenigen Operatoren eine Rolle, die den Austausch eines geladenen
Bosons beschreiben. Gemäß Abb. 9.3(b) kombiniert man den Standardmodellvertex für
u−, d−Quark und W −Boson mit dem effektiven leptonischen Vertex. Aufgrund der Faktorisierung
des Matrixelements in einen leptonischen und einen hadronischen Anteil und
unter Verwendung der Relation (9.2) kann die Pion-Zerfallskonstante stets herausgekürzt
und danach das Verhältnis der Zerfallsbreiten bestimmt werden. Man kann die Ergebnisse
anhand der möglichen Flavor-Kombinationen charakterisieren. Im Fall von (ee) kann
ein leptonischer Operator ausschließlich den Pionzerfall in Positron und Elektronneutrino
beschreiben, d.h. Γ neu
1 = Γ(e + ν e ) und Γ neu
2 = 0. Der umgekehrte Fall Γ neu
2 = Γ(µ + ν µ )
und Γ neu
1 = 0 tritt ein, wenn die Flavor-Kombination (µµ) vorliegt. In beiden Situationen
resultiert der Term führender Ordnung in der effektiven Kopplung aus der Interferenz
des neuen mit dem Standardmodellbeitrag. Betrachtet man (eτ) bzw. (τe) oder (µτ) bzw.
(τµ), findet man sich auch in einer der obigen Situationen wieder, allerdings gibt es keine