PDF - THEP Mainz

A. Konventionen
A.1. Dirac-Matrizen und Spinoren
Die in dieser Arbeit verwendeten Konventionen orientieren sich vor allem an [206]. Die
wichtigsten Relationen sind hier noch einmal kurz zusammengefasst.
Im Isospinraum benutzt man den Epsilon-Tensor
ɛ ijk =
⎧
⎨
⎩
1 für gerade Permutationen von (123)
-1 für ungerade Permutationen von (123)
0 sonst.
Bei der Verwendung von Lorentztensoren tritt der antisymmetrische Tensor
⎧
⎨ 1 für gerade Permutationen von (0123)
ɛ µνρλ = -1 für ungerade Permutationen von (0123)
⎩
0 sonst
auf. Für ihn gilt die Gleichung ɛ µνρλ = −ɛ µνρλ .
Die Dirac-Matrizen γ µ , µ ∈ {0, 1, 2, 3}, werden durch die Antikommutatorrelation
(A.1)
(A.2)
{γ µ , γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1 4×4 (A.3)
definiert. Eine mögliche Darstellung (Standarddarstellung) lautet:
( ) ( )
γ 0 12×2 0
0 τ
=
, γ j j
=
0 −1 2×2 −τ j , j = 1, 2, 3, (A.4)
0
wobei die Pauli-Matrizen τ j gegeben sind durch
( ) ( 0 1
0 −i
τ 1 = , τ
1 0
2 =
i 0
Sie erfüllen die Vertauschungsrelation
)
, τ 3 =
( 1 0
0 −1
)
.
[τ i , τ j ] = ɛ ijk τ k . (A.5)
Des Weiteren definiert man γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 und σ µν ≡ i 2 (γµ γ ν − γ ν γ µ ) und das Produkt
der Komponenten eines 4-Vektors a mit den Dirac-Matrizen a/ ≡ a µ γ µ . Es gilt {γ 5 , γ µ } = 0.
Die hermitesch konjugierten Matrizen besitzen die Eigenschaft
γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 , γ 5† = −γ 0 γ 5 γ 0 = γ 5 , (A.6)