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Effektive Feldtheorien 19
Gemäß dem Noether-Theorem existieren erhaltene Vektor- und Axialvektorströme
Jµ V,a = Qγ µ T a Q (2.7)
Jµ A,a = Qγ µ γ 5 T a Q, (2.8)
im allgemeinen Fall von N f Quarks bezeichnen T a die Generatoren der Fundamentaldarstellung
der SU(N f ). Aus mehreren Gründen kann SU(N f ) L × SU(N f ) R nicht die richtige
Symmetriegruppe sein, um die chirale Lagrange-Dichte zu formulieren. Wäre sie die
zugrunde liegende Symmetriegruppe, gäbe es Zustände mit gleichen Quantenzahlen und
entgegengesetzter Parität. Sie werden experimentell nicht beobachtet. Ausserdem würden
Vakuumerwartungswerte von Produkten der Axialströme ebenso groß wie Produkte der
Vektorströme. Auch diese Aussage steht im Widerspruch zum Experiment. Durch den Mechanismus
der spontanen Symmetriebrechung reduziert sich die Symmetriegruppe auf die
vektorielle Untergruppe SU(N f ) L+R . Gemäß dem Goldstone-Theorem treten dabei N 2 f − 1
neue masselose, pseudoskalare Goldstone-Bosonen auf, genausoviele wie Generatoren durch
die Symmetriebrechung verloren gehen. Sie sind die leichtesten Hadronen der Theorie. Im
Grenzfall zweier masseloser Quarks (N f = 2) treten die Goldstone-Bosonen der Theorie in
Form der drei Pionen auf, die ein Isospin-Multiplett bilden und in der Natur tatsächlich mit
annährend gleicher und kleiner Masse m π ≃ 140 MeV ≪ Λ χ vorkommen. Stellt man eine
Theorie mit drei masselosen Quarks auf (N f = 3), existieren acht pseudo-skalare Goldstone-
Bosonen: die drei Pionen, die vier Kaonen und das η−Meson. Hier ist die Symmetrie nicht
mehr so gut realisiert, weil die Massen der Goldstone-Bosonen von etwa 140 bis 550 MeV
variieren. Das Bild der spontan gebrochenen chiralen Symmetrie verliert an Gültigkeit, je
schwerer die in der Natur vorkommenden Goldstone-Bosonen tatsächlich sind.
Um die allgemeinste, effektive, chirale Lagrange-Dichte formulieren zu können, betrachten
wir zunächst die Lagrange-Dichte LQCD
0 und führen externe, hermitesche Felder v µ(x),
a µ (x), s(x), p(x) ein, die an die Vektor- und Axialvektorströme und die skalaren und
pseudoskalaren Dichten koppeln:
L = L QCD + L ext
= L QCD + Qγ µ (v µ + γ 5 a µ )Q − Q(s − iγ 5 p)Q (2.9)
Die Dichten besitzen Matrixcharakter bezüglich der Flavor u, d, s und sind farbneutrale
3 × 3−Matrizen. Diese Art der Herangehensweise hat vor allem den Vorteil, dass sie die
Einführung einer Wechselwirkung mit externen Feldern in die effektive Theorie ermöglicht,
was bei der Beschreibung der Meson-Zerfälle nötig sein wird. Durch Verwendung von rechtsund
linkshändigen Feldern lautet die Lagrange-Dichte
L = L QCD + Q L γ µ L µ Q L + Q R γ µ R µ Q R − Q R (s + ip)Q L − Q L (s − ip)Q R , (2.10)
mit R µ = v µ + a µ und L µ = v µ − a µ . Nun betrachtet man lokale Transformationen, die die
globalen als Spezialfall enthalten. Man stellt fest, dass die Lagrange-Dichte invariant unter