PDF - THEP Mainz

Konventionen 201
A.2. Gell-Mann-Matrizen
Eine dreidimensionale Darstellung der Algebra
[ ] λ
a
2 , λb
abc λc
= if
2
2
(A.17)
mit den Strukturkonstanten
f 123 = 1, f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = −f 156 = −f 367 = 1 2 , f 458 = f 678 = 1 2√
3 (A.18)
ist gegeben durch die acht Gell-Mann-Matrizen
⎛
0 1
⎞
0
⎛
0 -i 0
λ 1 = ⎝ 1 0 0 ⎠ , λ 2 = ⎝ i 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛
λ 4 = ⎝
⎛
λ 7 = ⎝
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 -i
0 i 0
⎞
⎛
⎠ , λ 5 = ⎝
⎞
√
⎛
⎠ 1
, λ 8 = ⎝
3
0 0 -i
0 0 0
i 0 0
⎞
⎛
⎠ , λ 3 = ⎝
⎞
1 0 0
0 1 0
0 0 -2
⎛
⎠ , λ 6 = ⎝
⎞
⎠ .
1 0 0
0 -1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ ,
(A.19)
(A.20)
Die Strukturkonstanten sind antisymmetrisch bezüglich Vertauschung zweier Indizes, alle
nicht aufgeführten Strukturkonstanten sind Null. Die hermiteschen Gell-Mann-Matrizen
sind linear unabhängig und es gilt
Sp(λ a ) = 0 (A.21)
Sp(λ a λ b ) = 2δ ab . (A.22)
Diese Algebra wird vor allem im Zusammenhang mit der Farbsymmetrie der QCD verwendet,
um SU(3)−Transformationen zu beschreiben.