Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

10 Die Beweissätze 1.2
Anfängepostulat
Für jedes n ∈ N gilt card A n = n.
Der Beweis des nächsten Satzes lässt sich weitgehend mit Hilfe dieses Postulats
führen, wobei im Folgenden stets die Abkürzungen
N k : = N \ A k mit k ∈ N und k > 0
verwendet werden. Außerdem ist zu beachten, dass {M} ≠ M für beliebige
C-Mengen M gilt.
Nachfolgersatz
Die Nachfolgerabbildung ν : N → N 1 , card E ↦→ card (E ∪ {E}) ist wohldefiniert
(d. h. unabhängig von der Auswahl der endlichen Menge E). Sie hat
folgende Eigenschaften:
a) (Zunahme) Für jedes m ∈ N ist m < ν(m).
b) (Lückenlosigkeit) Ist m ≤ n ≤ ν(m) für m, n ∈ N, so gilt n = m oder
n = ν(m).
c) (Anfängetreue) Für jedes m ∈ N ist A ν(m) = {0} ∪ ν(A m ) = A m ∪ {m}.
d) (Bijektivität) Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv.
Für C-Mengen A wird 1 : = card {A} gesetzt, weil es keine Kardinalzahl n mit
0 < n < card {A} gibt, da A nach Cantor das einzige Element von {A} ist.
Die spätere Einführung der “Addition” von natürlichen Zahlen (Seite 13) geht
dann von der Gleichsetzung n + 1 : = ν(n) aus.
1.2 Die Beweissätze
Nun lassen sich die beiden oben genannten wichtigen Beweisverfahren durch Sätze
begründen. Die skizzenhafte Herleitung des “Minimumsatzes” beruht auf der
expliziten Angabe des Minimums, das vorweg für nicht leere Teilmengen von N
definiert wird. Der Beweis des grundlegenden “Induktionssatzes” erfolgt dann
einprägsam mit Hilfe des Minimumsatzes.