Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

44 Aufgaben und Probleme 2.7
nennen. Der Schnellrechner sagt dann ohne Mühe die dreistellige Zahl. Wieso
[Hinweis: Er multipliziert mit 7.]
b) Zeigen Sie, dass jeder Mensch, dessen Geburtstag zwischen 1901 und 2071 liegt,
seinen achtundzwanzigsten Geburtstag am selben Wochentag feiert, an dem er
geboren wurde. [Hinweis: Das Jahr 2000 war ein Schaltjahr.]
Aufgabe 2.7:
[ ] z(a)
ln a
∑
Für jedes a ∈ N 1 sei z(a) : =
ln 2 und a = b k (a) 2 k mit b k (a) ∈ {0, 1} für
k = 0, . . . , z(a) sei die Darstellung von a im 2-adischen Zahlensystem. Außerdem
sei b k (a) : = 0 für k > z(a) sowie z(0) : = 0 und b 0 (0) : = 0 gesetzt. Für alle
m, n ∈ N wird die Verknüpfung ++ (binäre Addition, gelesen “biplus”) durch
m ++ n : =
z(m+n)
∑
k=0
| b k (m) − b k (n)| 2 k definiert.
i) Zeigen Sie, dass N mit dem neutralen Element 0 und mit der Verknüpfung ++
eine abelsche Gruppe darstellt, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.
ii) Leiten Sie mit Hilfe der für jedes a ∈ N 1 erklärten Abkürzung â : = 2 z(a)
Rekursionsformeln zur Berechnung von m ++ n her, indem Sie die Fälle ˆm = ˆn,
ˆm > ˆn und ˆm < ˆn unterscheiden.
Aufgabe 2.8:
Es sei S = (s 1 , . . . , s n ) ∈ N n eine “Stellung des Nimspiels”. S ′ = (s ′ 1, . . . , s ′ n) ∈ N n
heißt “Folgestellung von S ”, wenn es ein k ∈ {1, . . . , n} gibt, sodass s ′ k < s k und
s ′ i = s i für i ≠ k gilt. F(S) sei die Menge aller Folgestellungen von S und
B(S) : = s 1 ++ · · · ++ s n , wobei m ++ n die in Aufgabe 2.7 definierte binäre
Addition bezeichnet. Beweisen Sie, dass B(S) = 0 genau dann erfüllt ist, wenn
B(S ′ ) > 0 für alle S ′ ∈ F(S) gilt.
Aufgabe 2.9:
Bestimmen Sie alle Tripel (x, y, z) ∈ N 3 1, die 323x + 391y + 437z = 10473 erfüllen.
k=0
Die folgenden zwölf Probleme stammen aus dem Bundeswettbewerb Mathematik.