Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 221
wobei t −1 : = 0 gesetzt wird, damit 0 in der Induktionsmenge M : = {i ∈ N ; s k,n
= n + i für alle k ∈ N 1 mit t i−1 < k ≤ t i } liegt, weil s k,n = n nur für k = 1 gilt.
Ist j ∈ M und h : = t j , so folgt wegen s h,n = n + j und t j | (n + j), dass
h einen Teiler von s h,n darstellt. Damit ist m : = t j + 1 der kleinste Index mit
s m,n = n + j + 1. Im Falle t j+1 > t j + 1 gilt aufgrund der Minimalteilereigenschaft
von t j+1 auch s k,n = n + j + 1 für alle k mit t j + 1 < k ≤ t j+1 . Also ist j + 1 ∈ M,
und der Induktionssatz (Seite 12) ergibt M = N.
i) Um den ersten Fall, nämlich den “dann”-Fall unserer Vermutung beweisen zu
können, benötigen wir noch zwei weitere in der Tabelle erkennbare Eigenschaften
der Folgen S n . Am auffälligsten ist in S n für n ∈ N 2 das Vorhandensein eines endlichen
“Größerabschnitts” mit s k,n > k und eines darauf folgenden unendlichen
“Gleichbereichs”, in dem s k,n = k erfüllt ist. Mit vollständiger Induktion kann
leicht gezeigt werden, dass aus s i,n = i für ein i ∈ N 1 die Gleichungen
(6.35) s j,n = j für alle j ∈ N i
folgen, weil jeweils s j+1,n = j + 1 wegen j | s j,n gilt.
Also ist für jedes n ∈ N 2 die Existenz eines g ∈ N 1 mit s g,n = g nachzuweisen.
Dazu setzen wir c i : = n+i
t i
für jedes i ∈ N. Wegen t i | (n + i) gilt c i ∈ N 1 für alle
i ∈ N. Ist h ∈ N mit c h > 1, so sind n + h > t h und n+h+1
t h +1
womit c h+1 = n+h+1
t h+1
≤ n+h+1
t h +1
< n+h
t h
< n+h
t h
äquivalent,
= c h folgt. Da also {h ∈ N ; c h > 1} eine
endliche Menge darstellt, gibt es ein m ∈ N mit c m = 1. Damit gilt t m = n + m,
und wegen (6.34) erhalten wir n + m = s tm,n, also g = s g,n mit g : = t m .
Jetzt legt die Tabelle die Vermutung nahe, dass min {k ∈ N 1 ; s k,n = k} = min {p
∈ P ; p > n} gilt. Diese Annahme erweist sich zwar als falsch, weil zum Beispiel
s 27,23 = 27 < 29 ist. Aber sie lenkt unsere Aufmerksamkeit auf die Zahlen q =
q(n) : = min {p ∈ P ; p > n} , von denen wir leicht zeigen können, dass
(6.36) s q,n = q für jedes n ∈ N 2
gilt. Ist i ∈ N der nach (6.34) eindeutig bestimmte Index mit s ti ,n = q, so folgt
t i | q aufgrund der Definition von t i . Da s 1,n = n < q im Falle t i = 1 gilt, muss
t i > 1 sein. Also ist t i = q.
Nun lässt sich der Beweis des ersten Falles rasch abschließen. Ist k ∈ P und
n ∈ I k−1 , so gilt q ≤ k aufgrund der Definition von q. Wegen (6.36) und (6.35)
folgt s k,n = k für jedes n ∈ I k−1 .
ii) Im zweiten Fall, nämlich der “nur dann”-Aussage verleiten die Zahlen unter
den Treppenstufen der Tabelle zu der Vermutung, dass s n+1,n = q für jedes n ∈ N 2