Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

160 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 5.3
as 2 +bs+c = c+ 1 2 (b+b 1)s, und (5.15) ergibt −a 1 < b 1 ≤ a 1 . Im Falle a 1 > c 1 werde
gemäß (5.16) als Abschluss des Schleifendurchlaufs a : = c 1 , b : = −b 1 , c : = a 1
gesetzt; andernfalls sei a : = a 1 , b : = b 1 , c : = c 1 .
Nach endlich vielen Schritten hat man eine Form (a, b, c) mit −a < b ≤ a ≤ c,
die nur für a = c und b < 0 nicht reduziert ist. In diesem Fall ergibt (a, −b, a)
wegen (5.16) die gesuchte reduzierte Form.
Für den Reduktionsalgorithmus bringen wir zunächst ein Beispiel von Gauß,
wobei zu beachten ist, dass er mit (a, b, c) die Form bezeichnet, die bei uns mit
(a, 2b, c) abgekürzt wird, und dass die Diskriminante dem Vierfachen seiner “Determinante”
entspricht.
Für D = −124 ergibt der Algorithmus nacheinander die Formen (304, 434, 155),
(304, −174, 25), (25, 174, 304), (25, 24, 7), (7, −24, 25), (7, 4, 5), (5, −4, 7), und
die letzte davon ist reduziert.
Da die von Gauß behandelten Determinanten umkehrbar eindeutig den geraden
Diskriminanten entsprechen, hat der folgende Fall mit D = −19 bei ihm kein
Gegenstück: (23, 25, 7), (23, −21, 5), (5, 21, 23), (5, 1, 1), (1, −1, 5), (1, 1, 5).
Der Reduktionsalgorithmus hat ein ähnlich günstiges Laufzeitverhalten wie der
Euklidische Algorithmus, dessen Schrittzahl im Effizienzsatz (Seite 22) abgeschätzt
wurde. Gilt nach dem ersten Schleifenschritt a = a 1 > √ |D|, so folgt c 1 =
b 2 1+|D|
< a2 1+a 2 1
= 1 4a 1 4a 1 2 a 1, und die anschließende Vertauschung von a 1 und c 1 ergibt,
dass a bei jedem Schleifendurchlauf mindestens halbiert wird, solange a > √ |D|
ist. Für a < √ |D| lässt sich mit Fallunterscheidung zeigen, dass höchstens ein
weiterer Reduktionsschritt benötigt wird. Damit ist die Schrittzahl kleiner als
( )
3
2 ln √|D| a
+ 2.
Nun ist es möglich, effizient in der Klassengruppe zu “rechnen”, indem reduzierte
Formen mit anschließender Reduktion componiert werden. Da wir in dem folgenden
Abschnitt nur einen Ausblick auf die weitere Entwicklung geben, die mit
der Formencomposition zusammenhängt, skizzieren wir hier noch eine Anwendung
der Klassengruppe positiv-definiter Formen bei der Faktorisierung natürlicher
Zahlen. Eine ausführliche Darstellung von algorithmischen Aspekten der
elementaren und algebraischen Zahlentheorie ist in [2] enthalten. Die wichtigsten
Algorithmen der Zahlentheorie werden auch in [8] behandelt.