Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 195
in der obigen Tabelle aufeinanderfolgende Zeilen. Die drei beobachtbaren Fälle
zusammenfassend vermuten wir
(6.3) S n+1,k = S n,k + S n,mod(k−1,3) für alle n ∈ N und jedes k ∈ A 3 .
Der Beweis mit Hilfe der hier als bekannt vorauszusetzenden Rekursionsformel
( n+1
) (
i+1 = n
(
i+1)
+
n
)
i
erfolgt durch Fallunterscheidung. Für k ∈ {1, 2} erhalten wir
∑n+1
(
S n+1,k = n+1
) n∑ (
k+3j = n
) n∑ (
k+3j +
n
k−1+3j)
= Sn,k + S n,k−1 .
j=0
j=0
j=0
Im Falle k=0 muss der erste Summand gesondert behandelt werden:
∑n+1
(
S n+1,0 = n+1
) (
3j = n+1
) ∑n+1
(
0 + n
∑n+1
(
3j)
+
n
)
3j−1
j=0
( ) n∑
n
=
0 +
j=1
( n
3j)
+
n∑
i=0
j=1
j=1
( n
2+3i)
= Sn,0 + S n,2 .
Erst jetzt ist ein einfacher Beweis von (6.2) mit vollständiger Induktion möglich,
wenn man noch durch Fallunterscheidung η m+1,k = 1 − η m,k − η m,mod(k−1,3) für
alle m ∈ N und jedes k ∈ A 3 nachweist.
Das folgende Beispiel E14 aus Kapitel 6 von [5] wird von Engel als eines der
schwierigsten Probleme bezeichnet, die bei einem Mathematikwettbewerb für
SchülerInnen gestellt wurden. Das Problem und seine Lösung stammen von Euler,
der aber nichts davon veröffentlicht hat.
Problem 63
Beweisen Sie, dass es zu jedem n ∈ N 3 ein Paar (x, y) ∈ N 2 1 mit 2 ∤ xy gibt,
sodass 2 n = 7x 2 + y 2 gilt.
Wir bringen dieses Problem aus “psychologischen” Gründen, weil im Unterschied
etwa zu den zahlreichen Problemen in [10] bei SchülerInnenwettbewerben stets
eine “Lösbarkeitsgarantie mit Schwierigkeitsbeschränkung” vorliegt, wodurch sogar
eine Art von Brückenstrategie möglich ist, die wir hier anwenden werden.
Als Materialsammlung erhält man durch “systematisches Probieren” leicht die
folgende Tabelle, indem man bei festem n ∈ {3, . . . , 10} das kleinste ungerade
x ∈ N 1 bestimmt, für das 2 n − 7x 2 eine Quadratzahl ist.