Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.3 Kongruenzsätze 91
4.3 Kongruenzsätze
Satz über die lineare Kongruenz
Sind a ∈ N 1 und m ∈ N 2 mit ggT (a, m) = 1, so stellt x = (−1) n Q n−1 b
für jedes b ∈ Z eine Lösung der linearen Kongruenz a x ≡ b (mod m) dar.
Dabei ist Q n−1 der Nenner des vorletzten Näherungsbruches der Kettenbruchentwicklung
von a m .
Beweis (direkt, r1):
Ist P n−1
der vorletzte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von a Q n−1
m , so
wird im Satz über die lineare diophantische Gleichung (Seite 28) gezeigt, dass
(x, y) : = ((−1) n Q n−1 b, (−1) n P n−1 b) eine Lösung der linearen diophantischen
Gleichung ax−my = b darstellt. Wegen ax−b
m
= y ∈ Z ist damit x = (−1)n Q n−1 b
eine Lösung der linearen Kongruenz a x ≡ b (mod m).
Satz über Kongruenzkürzung
Sind k, m ∈ Z 2 mit k ≠ 0, m ≥ 1 und d : = ggT (k, m), so gilt k a ≡
k b (mod m) genau dann, wenn a ≡ b (mod m d ) ist.
Beweis (zwei Teile, direkt, r1):
i) Ist k = k 1 d und m = m 1 d mit ggT (k 1 , m 1 ) = 1, so gilt
k a − k b
m
= k 1 d a − k 1 d b
m 1 d
= k 1 (a − b)
m 1
.
Aufgrund des Produktteilersatzes (Seite 23) folgt m 1 | (a − b), d.h. a ≡ b (mod
m 1 ).
ii) Ist m 1 | (a − b), so zeigt die Gleichungskette, dass auch m | (k a − k b) gilt.
Satz über Kongruenzvergröberung
Sind m, n ∈ N 1 mit n | m, so folgt a ≡ b (mod n) aus a ≡ b (mod m).