Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

166 Quadratische Zahlkörper 5.4
für die vollständige Beschreibung des Zusammenhangs zwischen binären quadratischen
Formen und noch zu definierenden Strukturen in Q (√ d ) benötigt.
Alle Ordnungen R von Q (√ d ) lassen sich in einfacher Weise beschreiben. Wegen
R ⊆ R d,1 hat jedes Element ξ ∈ R die Form ξ = x + y ρ mit x, y ∈ Z. Wird
f : = min {y ∈ N 1 ; Es gibt x ∈ Z mit x + y ρ ∈ R}
gesetzt und g ∈ Z so gewählt, dass g + fρ ∈ R gilt, so folgt fρ ∈ R, weil R einen
Ring darstellt und g ∈ R ist. Wegen der Minimalität von f ergibt sich f | y für
alle x + y ρ ∈ R.
Nun ist es zweckmäßig, für a ∈ Z und b ∈ R d die folgende auch später benötigte
Abkürzung einzuführen:
{a, b} Z : =
{ξ ∈ Q ( √ ) }
d ; Es gibt u, v ∈ Z mit ξ = a u + b v .
Zu jeder Ordnung R von Q (√ d ) gibt es also ein f ∈ N 1 , sodass ξ ∈ R genau
dann gilt, wenn ξ in {1, f ρ} Z liegt. Umgekehrt stellt
R d,f : = ( {1, f ρ} Z , + , · , 0 , 1 , − )
für jedes f ∈ N 1 mit den entsprechend eingeschränkten Verknüpfungen aus R d,1
einen Ring dar, weil einerseits ( {1, fρ} Z , + , 0 , − ) eine abelsche Gruppe ist und
weil sich andererseits mit vollständiger Induktion ergibt, dass (f ρ) k ∈ {1, f ρ} Z
für jedes k ∈ N gilt. Den Induktionsanfang bilden aufgrund der Definition von
{1, f ρ} Z die Fälle k = 0, 1, und die im Induktionsschritt durchzuführende Reduktion
wird durch die aus (5.20) folgende Beziehung
ermöglicht.
(f ρ) 2 = αf (f ρ) − f 2 δ ∈ {1, f ρ} Z
Im Hinblick auf unser Ziel, eine Verbindung zu den binären quadratischen Formen
des vorigen Abschnitts herzustellen, führen wir für jede Ordnung R d,f die
üblicherweise mit linearer Algebra definierte Diskriminante D f einer Ordnung
als Diskriminante der quadratischen Form N(x + yf ρ) ein. Die Normgleichung
(5.19) ergibt N(x + y f ρ) = x 2 + αf xy + f 2 δ y 2 . Also folgt mit der Definition
einer Form von Seite 152
D f : = α 2 f 2 − 4f 2 δ = αf 2 − f 2 (α − D) = f 2 D.
Damit ist einerseits jede Ordnung R d,f irgendeines quadratischen Zahlkörpers
eindeutig durch ihre Diskriminante f 2 D bestimmt, und andererseits tritt jede