Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

Kapitel 5
Ergänzungen
5.1 Die Faltung zahlentheoretischer Funktionen
Die folgenden speziellen Abbildungen von N 1 in eine Zahlenmenge wurden bisher
als zahlentheoretische Funktionen eingeführt: die Teileranzahlfunktion d (Seite
18), die Anzahlfunktion der Primteiler ω (Seite 53), die Anzahlfunktion der
Primpotenzteiler Ω (Seite 53), die Teilersummenfunktion σ (Seite 56), die Möbiussche
µ-Funktion µ (Seite 64) und die Eulersche ϕ-Funktion ϕ (Seite 94). Hier
sollen einige allgemeine Zusammenhänge zwischen diesen und weiteren zahlentheoretischen
Funktionen dargestellt werden, wobei im ersten Teil der folgenden
Definition der Begriff der “zahlentheoretischen Eigenschaft” vage bleibt.
Definition der (multiplikativen) zahlentheoretischen Funktion
Eine Funktion f : N 1 → C heißt zahlentheoretische Funktion, wenn das Bildungsgesetz
von f auf zahlentheoretischen Eigenschaften beruht und wenn es
ein m ∈ N 1 mit f(m) ≠ 0 gibt.
Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multiplikativ, wenn f(a b) =
f(a) f(b) für alle a, b ∈ N 1 mit ggT (a, b) = 1 gilt. 1
Für alle multiplikativen Funktionen gilt f(1) = 1, denn für jede Zahl m mit
f(m) ≠ 0 folgt f(m) = f(1 · m) = f(1) f(m), also f(m) (f(1) − 1) = 0, woraus
man durch Kürzen die Behauptung erhält.
1 Im Folgenden sind mit multiplikativen Funktionen stets multiplikative zahlentheoretische
Funktionen gemeint.
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