Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

60 Vollkommene Zahlen und spezielle Primzahlen 3.4
Theorem über Mersenne-Primzahlen 4 (von E. Lucas 1876 entdeckt
und von D. H. Lehmer 1936 allgemein bewiesen)
Die Folge (u n ) n
sei durch u 1 : = 4 und u n+1 : = u 2 n − 2 für n ∈ N 1 rekursiv
definiert. Ist p ∈ P 3 , so stellt M p = 2 p − 1 genau dann eine Primzahl dar,
wenn M p | u p−1 gilt.
Primzahlrekorde
Das Theorem über Mersenne-Primzahlen stellt die Grundlage für
den Lucas-Lehmer-Test für Mersenne-Primzahlen dar, der ungewöhnlich
schnell ist, weil einerseits nur die Reste von u k beim Teilen durch M p
für k = 1, . . . , p − 1 zu berechnen sind und weil andererseits auf Computern
mit Dualzahlarithmetik die Division durch 2 p − 1 besonders einfach
programmiert werden kann. Seit Lucas 1876 zeigte, dass M 127 (mit 39
Ziffern) eine Primzahl ist, waren immer Zahlen vom Mersenneschen Typ
die jeweils größten bekannten Primzahlen. Bis heute (Juni 2005) wurden
die folgenden 42 Exponenten von Mersenne-Primzahlen bestimmt: 1: 2, 2:
3, 3: 5, 4: 7, 5: 13, 6: 17, 7: 19, 8: 31, 9: 61, 10: 89, 11: 107, 12: 127, 13:
521, 14: 607, 15: 1279, 16: 2203, 17: 2281, 18: 3217, 19: 4253, 20: 4423,
21: 9689, 22: 9941, 23: 11213, 24: 19937, 25: 21701, 26: 23209, 27: 44497,
28: 86243, 29: 110503, 30: 132049, 31: 216091, 32: 756839, 33: 859433, 34:
1257787, 35: 1398269, 36: 2976221, 37: 3021377, 38: 6972593, 39: 13466917,
40: 20996011, 41: 24036583, 42: 25964951.
Die letzten acht dieser Exponenten von Mersenne-Primzahlen wurden im
Rahmen des GIMPS-Projekts (Great Internet Mersenne Prime Search)
gefunden. Dabei handelt es sich um einen Internet-Zusammenschluss von
mehr als 100000 privaten Computern (siehe www.mersenne.org). In diesem
Projekt werden nach und nach auch die Zahlen 2 p − 1 systematisch
getestet, für die die Primzahl p zwischen den obigen Exponenten liegt. Auf
diese Weise wurde festgestellt, dass es bis zur 38. Mersenne-Primzahl keine
weiteren als die schon gefundenen gibt.
Die neueste Mersenne-Primzahl hat im Februar 2005 ein deutscher Augenarzt
entdeckt, der insgesamt 24 Computer einsetzte und mehr als 50 Tage
Rechenzeit für die 7816230-stellige Zahl benötigte.
Vermutungen über vollkommene Zahlen
Es gibt unendlich viele gerade vollkommene Zahlen aber keine ungeraden.
4 Als Theoreme bezeichnen wir in diesem Buch Sätze, deren Beweise wegen ihres Umfangs
und Schwierigkeitsgrades hier nicht wiedergegeben werden können.