Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

202 Problemlösestrategien 6.3
Symmetriestrategie vor, wobei die ersten beiden meistens als Spezialfälle angesehen
werden können, die wir aber wegen ihrer Leistungsfähigkeit in eigenen
Abschnitten behandeln. Das folgende Problem 1.4.3 aus [13] ist in Kapitel 6 von
[5] als E12 mit zwei Lösungen zu finden.
Problem 66
Bestimmen Sie alle (x, y, z) ∈ Z 3 mit x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz.
Es sei L : = { (u, v, w) ∈ Z 3 ; u 2 + v 2 + w 2 = 2uvw } . Dann gilt (0, 0, 0) ∈ L, und
aus (x, y, z) ∈ L \ {(0, 0, 0)} folgt xyz > 0, sodass mit (x, y, z) auch ( |x|, |y|, |z| )
in L \ {(0, 0, 0)} liegt. Deshalb dürfen wir als erste Modifikation (x, y, z) ∈ L ∩ N 3 1
annehmen.
Setzen wir nun k : = min {ν 2 (x), ν 2 (y), ν 2 (z)} und x 1 : = 2 −k x, y 1 : = 2 −k y,
z 1 : = 2 −k z, so erhalten wir durch Einsetzen und Kürzen
(6.8) x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 = 2 k+1 x 1 y 1 z 1 mit 2 ∤ ggT (x 1 , y 1 , z 1 ) und k ∈ N.
Hier handelt es sich um eine “echte” Modifikation, weil die Lösungssuche bei (6.8)
weder eine Zurückführung noch eine Verallgemeinerung des Ausgangsproblems
darstellt.
In (6.8) ist die rechte Seite gerade, sodass nicht alle Summanden der linken Seite
ungerade sein können. Wegen 2 ∤ ggT (x 1 , y 1 , z 1 ) ist deshalb genau eine Komponente
gerade, und es gilt x 2 1 + y 2 1 + z 2 1
≡ 2 (mod 4) - im Widerspruch zu
4 | ( 2 k+1 x 1 y 1 z 1
)
. Da jedes Tripel aus L \ {(0, 0, 0)} zu einer Lösung von (6.8)
führen würde, ist also L = {(0, 0, 0)} .
Dieses Beispiel steht für eine Klasse von Problemen, bei denen eine Lösungsmenge
zu bestimmen ist. Nachdem durch Probieren oder mit einfachen Schlüssen Lösungen
einer Aussage A gefunden sind, ist die Hauptaufgabe dann aber der Nachweis,
dass es keine weiteren Lösungen gibt. Die Modifizierungsstrategie liefert als Folgerung
aus A eine meistens naheliegende Aussage B, und die Kontraposition “Aus
¬B folgt ¬A” hilft als eigentliche Anwendung der Strategie bei der Abgrenzung
der Lösungsmenge.
Alle Probleme, die bei uns - abgesehen von der Verallgemeinerungsstrategie und
der Zurückführungsstrategie - den Einsatz der Modifizierungsstrategie zulassen,