Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

1.2 Die Beweissätze 11
Definition des Minimums
Ist T eine nicht leere Teilmenge von N, so heißt ein Element m ∈ T Minimum
von T , wenn m ≤ n für alle n ∈ T gilt.
Das Minimum einer nicht leeren Teilmenge T von N ist wegen des zweiten Kardinalzahlpostulats
(Seite 8) eindeutig bestimmt. Bei dem folgenden Minimumsatz
wird das Minimum in drei Schritten gewonnen. i) Im Falle 0 ∈ T stellt 0 das
Minimum von T dar. ii) Gehört 0 nicht zu T und ist b ein beliebiges Element von
T , so wird für die nicht leere, endliche Menge U : = { c ∈ A b ; A ν(c) ∩ T = ∅ } mit
der Kardinalzahl m gezeigt, dass U = A m gilt. iii) Mit einfachen Schlüssen folgt
dann, dass m das Minimum von T ist.
Minimumsatz
Jede nicht leere Teilmenge von N besitzt genau ein Minimum.
Das Minimum von T wird mit min T bezeichnet. Mit Hilfe des Minimumsatzes
lässt sich der Maximumsatz herleiten. Dazu benötigen wir zwei Begriffe.
Definition der Beschränktheit und des Maximums
a) Eine Teilmenge T von N heißt beschränkt, wenn es ein b ∈ N 1 gibt, sodass
T ⊆ A b gilt.
b) M ∈ T heißt Maximum von T , wenn t ≤ M für alle t ∈ T erfüllt ist.
Maximumsatz
Jede nicht leere, beschränkte Teilmenge von N besitzt genau ein Maximum.
Beweis Es sei T ⊆ A b mit b ∈ N 1 . Dann ist b ∈ V : = {n ∈ N | T ⊆ B n }.
Aufgrund des Minimumsatzes kann also M : = min V gesetzt werden. Der Fall
M = 0 tritt nur ein, wenn T = B 0 ist. Andernfalls gibt es wegen der Bijektivität
von ν (Seite 10) ein L ∈ N mit ν(L) = M. Aus der Anfängetreue von ν folgt
T ⊆ B L ∪ {M}. Wegen L < M ist T keine Teilmenge von B L . Also gilt M ∈ T ,
und wegen T ⊆ B M ist t ≤ M für alle t ∈ T . Aufgrund des Kardinalzahlpostulats
b) enthält T nur ein Maximum. Dieses wird mit max T bezeichnet.