Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.3 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 161
Faktorisierung mit Hilfe der Klassengruppe
In den Abschnitten 329 bis 334 von [9] beschrieb Gauß zwei Methoden zur
Faktorzerlegung von natürlichen Zahlen mit Hilfe quadratischer Reste.
Auf fast einer ganzen Seite erörterte er zunächst die Bedeutung solcher
Verfahren für die Faktorisierung von Zahlen mit “sieben und mehr” Ziffern.
Der folgende Begriff, den Gauß im Zusammenhang mit binären quadratischen
Formen eingeführt hat, bildet heute die Grundlage eines der
effizientesten Faktorisierungverfahren für Zahlen mit 60 und mehr Ziffern.
Definition der ambigen Form
Eine primitive, positiv-definite Form f heißt ambig, wenn f mit sich
selbst componiert eine Form ergibt, die zu der Einheitsform äquivalent
ist.
Aufgrund des Theorems über die Klassengruppe (Seite 159) ist eine
primitive, positiv-definite Form (a, b, c) genau dann ambig, wenn (a, −b, c)
eine zu (a, b, c) äquivalente Form darstellt. Ist (a, b, c) außerdem reduziert,
so können nur die folgenden drei Fälle auftreten:
i) Ist auch (a, −b, c) reduziert, so muss wegen des Satzes über eindeutige
Repräsentanten (Seite 156) (a, −b, c) = (a, b, c) gelten. Daraus folgt b =
0 und damit D = −4ac.
ii), iii) Ist (a, −b, c) nicht reduziert, so folgt a = b oder a = c, weil andernfalls
(a, −b, c) wegen −a < −b und a < c reduziert wäre.
Auch hier ergibt sich für D jeweils eine Zerlegung D = b (b − 4c) beziehungsweise
D = (b − 2a)(b + 2a). Entsprechende Produktdarstellungen gewinnen
wir für die natürlichen Zahlen N : = −
D mit α = mod (D, 4).
4−3α
Wegen α = mod (b, 2) können wir b ′ : =
b
2−α ∈ N 1 setzen und erhalten
mit β : = 1 + α in den drei obigen Fällen N = ac, N = b ′ (2βc − b ′ )
beziehungsweise N = (βa − b ′ )(βa + b ′ ).
Diese Zerlegungen sind natürlich nur dann von Nutzen, wenn die entsprechende
ambige Form von der Einheitsform verschieden ist. Die Voraussetzung
der Existenz solcher Formen wird durch zwei weitere beeindruckende
Ergebnisse aus [9] geklärt. Im Zusammenhang mit der Darstellbarkeit von
Zahlen durch Formen führte Gauß den Begriff des Geschlechts von Formenklassen
in einer Ordnung ein.
Heute weiß man, dass diese “Geschlechter in einer Ordnung” diejenigen
Äquivalenzklassen von Formen sind, die entstehen, wenn in der Definition
von Seite 153 die Zahlen r, s, t, u rational sein dürfen (siehe [1]). Bei diesem
Zugang spricht man von einem Geschlecht ohne den Zusatz “in einer
Ordnung”. Verwenden wir diese Bezeichnungsweise, so zeigte Gauß, dass in
allen Geschlechtern, die zu derselben Diskriminante D gehören, gleich viele