Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 201
( m+n
k
) k∑
= A i,k−i =
i=0
k∑ ( m
i
i=0
)( n
k−i)
.
Ein ganz anderer Beweis ist mit der Methode des Koeffizientenvergleichs möglich,
die bei der Behandlung der Verallgemeinerungsstrategie skizziert wird. Multipliziert
man die beiden Polynome
m∑ (
(1 + x) m = m
)
j x j und (1 + x) n =
so ergibt sich einerseits
und andererseits
(
∑ m
( m
j
j=0
(1 + x) m (1 + x) n = (1 + x) m+n =
j=0
)
)( n∑ (
x
j n
)
)
l x
l
=
l=0
m+n
∑
k=0
m+n
∑
k=0
k∑ ( m
i
i=0
n∑ ( n
)
l x l ,
l=0
( m+n
)
k x
k
)( n
k−i)
x k .
Ein “Koeffizientenvergleichssatz” der linearen Algebra liefert dann die Gleichheit
der Koeffizienten (siehe Seite 206).
Die Umformulierungsstrategie kann bei den folgenden Problemen dieses Buches
hilfreich sein: 6, 27, 33, 34, 35, 37, 40, 41, 42, 46, 47, 57 und 59. Nicht immer
erfolgt die Anwendung gleich nach dem Mathematisieren.
Modifizierungsstrategie
Diese Strategie, bei deren Darstellung wir [13] folgen, kam in den früheren Kapiteln
nicht explizit vor. Wie bei der Umformulierungsstrategie geht es um die
Lösung eines “Ersatzproblems” B anstelle des gegebenen Problems A. Die Umformulierungsstrategie
führt von A ausgehend zu einem “äquivalenten” Problem
B, wobei äquivalent bedeutet, dass die Lösung des einen Problems jeweils die
Lösung des anderen impliziert. Bei der Modifizierungsstrategie wird dagegen von
der Lösung eines Hilfsproblems B auf die Lösung von A geschlossen aber meistens
nicht umgekehrt. Insbesondere gibt es oft keinen naheliegenden Weg zum Finden
von B.
Selbst bei den für diese Strategie typischen Formulierungen “Es genügt zu zeigen,
dass . . . ”, “Wir dürfen annehmen, dass . . . ” oder “Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit . . . ” wird in der Regel die Erkundungsstrategie benötigt, um auf
die entsprechende Modifikation zu kommen.
Enge Zusammenhänge mit der Modifizierungsstrategie liegen bei der Verallgemeinerungsstrategie,
der Zurückführungsstrategie, der Rückwärtsstrategie und der