Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

192 Problemlösestrategien 6.3
Methodik. Davon spielen hier nur die ersten beiden eine Rolle, wobei auf die
Beweisverfahren nicht weiter eingegangen wird, weil sie in den früheren Kapiteln
genügend ausführlich dargestellt wurden.
Das Übersetzen einer Problemsituation oder eines entsprechenden Textes in die
formale Sprache der Mathematik kann dagegen schon weit in die Heuristik reichen,
weil etwa Umformulierungen oder eine günstigere Parameterwahl nötig sind,
um eine Lösung zu finden (vgl. [13]). Im Unterschied zu vielen “Denksportaufgaben”
ist es aber bei den Wettbewerbsproblemen nicht sehr schwierig, den mathematischen
Sachverhalt beziehungsweise das Aufgabenziel zu erfassen. Die meisten
der Probleme in diesem Buch liegen sogar bereits in weitgehend mathematisierter
Form vor. Für Unerfahrene ist es allerdings zum Beispiel bei den Problemen
47, 55, 58, 60 und 61 nicht einfach, einen geeigneten Ansatz zu finden. Anders
als für IMO-TeilnehmerInnen, die an zwei Tagen jeweils drei Aufgaben in 4 1 2
Stunden lösen sollen, spielt hier der Zeitaspekt keine Rolle bei der Bewertung des
Schwierigkeitsgrades.
Um eine grobe Übersicht zu erhalten, “hierarchisieren” wir zunächst die für die
elementare Zahlentheorie infrage kommenden Problemlösestrategien, indem wir
drei Typen unterscheiden.
• Globale Strategien umfassen die Suche nach Regelmäßigkeiten oder nach
Ansatzpunkten für konkrete Strategien, die Brauchbarkeitsanalyse bei ähnlichen
Problemen oder Sätzen, die Problemabwandlung und die Erzeugung
von Problemketten (Gaußsche Erkundungsstrategie, Umformulierungsstrategie,
Modifizierungsstrategie, Verallgemeinerungsstrategie)
• Lokale Strategien strukturieren ein gegebenes Problem und nutzen seine
Besonderheiten (Rückwärtsstrategie, Pólyasche Brückenstrategie, Invarianzstrategie,
Symmetriestrategie, Fallunterscheidungsstrategie, Zurückführungsstrategie,
Extremfallstrategie, Visualisierungsstrategie)
• Mikrostrategien benutzen Gesetzmäßigkeiten und Schlussweisen des betreffenden
mathematischen Teilgebiets, um Material für die Aufstellung und zum
Bestätigen oder Verwerfen von Vermutungen auf dem Weg zu einer Lösung zu
erhalten (Kernbruchstrategie, Klammerungsstrategie, Exponentenvergleichsstrategie,
Wechselwegnahmestrategie, Abstiegsstrategie).