Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.9 Aufgaben und Probleme 131
Aufgabe 4.6:
Es sei n ∈ N 2 . Zeigen Sie, dass ω(n 2 + 2n) = 2 genau dann gilt, wenn
4 (n − 1)! + n + 4 ≡ 0 (mod (n 2 + 2n)) erfüllt ist.
Aufgabe 4.7:
Es seien m, n ∈ N 2 mit ggT(m, n 2 − n) = 1. Weisen Sie nach, dass es ein k ∈
( ∑k
)
{1, . . . , m − 2} gibt, für das m |
i=0 ni gilt.
Aufgabe 4.8:
Es sei p ∈ P 5 und p−2 ∑
k=0
c k x k : = p−1 ∏
(x − j) − x p−1 + 1. Beweisen Sie, dass p | c k für
j=1
k = 2, . . . , p − 2 und p 2 | c 1 gilt.
[Hinweis: Sie können x = p setzen, nachdem Sie den Polynomkongruenzsatz von
Lagrange und den Fermatschen Kongruenzsatz angewendet haben.]
Aufgabe 4.9:
Berechnen Sie die Zahlen a ∈ A 5 , b ∈ A 7 und c ∈ A 11 , für die {x ∈ Z ; x ≡ 348
(mod 385)} die Lösungsmenge des Kongruenzsystems
darstellt.
Aufgabe 4.10:
a x ≡ −1 (mod 5), b x ≡ 2 (mod 7), c x ≡ −3 (mod 11)
Lösen Sie die Kongruenzen i) x 2 ≡ 5 (mod 19) und ii) x 2 ≡ 5 (mod 29).
Aufgabe 4.11:
Bestimmen Sie unter Verwendung des Jacobi-Symbols die Anzahl der Lösungen
der Kongruenzen i) x 2 ≡ 3766 (mod 5987) und ii) x 2 ≡ 3149 (mod 5987).
Aufgabe 4.12:
i) Zeigen Sie, dass ( d
p)
= 1 für alle (d, p) ∈ Z × P mit p ≡ 1 (mod 4) und
d ∣ ∣ p−1
4
gilt.
ii) Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für die ( 6
p)
= −1 ist.
Aufgabe 4.13:
Zeigen Sie, dass ( −5
p
)
= (−1)
[ p
10
]
für alle p ∈ P \ {2, 5} gilt.