Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

22 Größter gemeinsamer Teiler 2.2
Da jetzt der Zusammenhang der finiten Induktion mit der vollständigen Induktion
ausführlich gezeigt ist, werden wir im Folgenden bei Beweisen mit finiter
Induktion meistens eine geeignete Kurzschreibweise verwenden.
Beispiel: Das obige Euklidische Tupel ergibt ggT (525, 231) = 21.
Weitere Beispiele vor allem mit großen Zahlen führen zu der Vermutung, dass
der Euklidische Algorithmus ungewöhnlich “schnell” ist. Diese zunächst überraschende
Tatsache wird in dem folgenden Satz präzisiert.
Effizienzsatz
Gehört zu (r 0 , r 1 ) ∈ N 2 1 mit r 1 < r 0 das Euklidische Tupel (r 1 , . . . , r n ), so gilt
n < 3 ln r 1 + 1.
Beweis (Fallunterscheidung, finite Induktion und Widerspruch, a2):
Von dem Euklidischen Tupel (r 1 , . . . , r n ) wissen wir bisher nur, dass r i+1 < r i
für i = 1, . . . , n − 1 gilt. Zahlenbeispiele lassen vermuten, dass r i+2 < 1 2 r i für
i = 1, . . . , n − 2 erfüllt ist.
Es sei also r i = r i+1 q+r i+2 mit q ∈ N 1 und 0 < r i+2 < r i+1 für i ∈ {1, . . . , n − 2} .
Im Falle r i+1 ≤ 1 2 r i folgt sofort r i+2 < r i+1 ≤ 1 2 r i. Ist r i+1 > 1 2 r i, so erhält man
r i+1 q ≥ r i+1 > 1 2 r i und damit r i+2 = r i − r i+1 q < 1 2 r i.
[ ]
Finite Induktion ergibt nun r 2k−1 < 1
n+1
r
2 k−1 1 für k = 2, . . . ,
2 . Ist m : =
min {k ∈ N 1 ; 2 k > r 1 }, also 2 m−1 ≤ r 1 < 2 m , so folgt 1 ≤ 1 r
2 m−1 1 < 2. Wäre
n > 2m − 1, so würde sich r 2m−1 < 2, also r 2m−1 = 1 und damit n ≤ 2m − 1 im
Widerspruch zur Annahme ergeben. Deshalb gilt
n ≤ 2m − 1 = 2 max {k ∈ N 1 ; 2 k−1 ≤ r 1 } − 1
[ ] ln r1
= 2 + 1 ≤ 2
ln 2 ln 2 ln r 1 + 1 < 3 ln r 1 + 1.
Der Euklidische Algorithmus ist auch ein Hilfsmittel für die Herleitung des folgenden
Satzes, der schon in diesem Kapitel mehrere Anwendungen besitzt und
der vor allem bei dem ersten Beweis für den Hauptsatz benötigt wird.