Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

162 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 5.3
Klassen liegen und dass es mindestens 2 Ω(−D)−2 Geschlechter gibt, wenn
D gerade und Ω(−D) ≥ 2 ist. Bezeichnet h die Klassenzahl, nämlich die
Anzahl der Klassen in der Klassengruppe zur Diskriminante D, so ist also
h mindestens durch 2 Ω(−D)−2 teilbar.
Wird für ungerades N ∈ N 3 als Umkehrung der obigen Abkürzung die
{
−N, wenn N ≡ 3 (mod 4) ist,
Diskriminante D durch D : =
definiert,
−4N sonst,
so ergeben die Resultate von Gauß zusammen mit späteren Verallgemeinerungen,
dass 2 Ω(−D)−1 die Klassenzahl h teilt. Für zerlegbares N ist also
h gerade.
Wird die Verknüpfung in der Klassengruppe ohne ein Verknüpfungszeichen
“multiplikativ” geschrieben, so gibt es aufgrund eines allgemeinen Satzes
der Algebra wegen des Teilers 2 von h eine Klasse f, die von der neutralen
Klasse e verschieden ist und für die f 2 = e gilt. Definitionsgemäß existiert
dann in f eine ambige Form. Aufgrund des Theorems über die Klassengruppe
(Seite 159) sind damit alle Formen von f ambig, sodass man
von einer ambigen Klasse spricht.
Solche ambigen Klassen können mit einer Standardmethode der Algebra
bestimmt werden: Ist t : = ν 2 (h), q : = 2 −t h und f eine Formenklasse, für
die g : = f q nicht die neutrale Klasse darstellt, so existiert ein m ∈ A t ,
mit dem g 2m eine ambige Klasse ergibt. Hier lässt sich h zunächst mit
Hilfe einer analytischen Formel, die wir im nächsten Abschnitt (Seite 180)
angeben, in einem relativ kleinen Intervall einschließen und dann durch
die Berechnung der als Teiler von h auftretenden “Ordnungen” einer Sequenz
von Formenklassen f i exakt bestimmen, wobei die Ordnung von
f i durch min {γ ∈ N 1 ; f γ i
= e} analog zur Ordnung modulo m (Seite 120)
definiert ist. Die obigen Formenklassen f werden durch zufällige Wahl der
zugehörigen reduzierten Form unter sinnvollen Bedingungen gewonnen.
Diese Idee und ihre Ausgestaltung als Algorithmus zur Berechnung von h
und zur Faktorisierung großer ungerader Zahlen N stammt von D. Shanks
(1969). Drei Jahre später hat Shanks ein weiteres effizientes Faktorisierungsverfahren
veröffentlicht, das die Klassengruppe von positiven Diskriminanten
verwendet. Etwa zehn Jahre danach wurde die erste Methode
von Shanks durch zwei Gruppen von Mathematikern unabhängig voneinander
wesentlich verbessert. Typisch für alle “modernen” Primzahltests
und Faktorisierungsalgorithmen ist die Verwendung einer Verallgemeinerungsstrategie,
indem “höhere” mathematische Strukturen wie zum
Beispiel Klassengruppen, “elliptische Kurven” und “Zahlkörper” benutzt
werden. Ein Beispiel für die Letzeren gibt der nächste Abschnitt.