Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.3 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 157
a 1 ≥ ar 2 − a|rt| + ct 2 = a ( r 2 − |rt| + t 2 ) + (c − a) t 2 .
Wegen ru − st = 1 ist (r, t) ≠ (0, 0), womit r 2 − |rt| + t 2 = (|r| − |t|) 2 + |rt| ≥ 1
folgt. Zusammen mit der dritten Reduziertheitsungleichung erhalten wir also
(5.18) a 1 ≥ a + (c − a) t 2 ≥ a.
Setzen wir zusätzlich voraus, dass (a 1 , b 1 , c 1 ) reduziert ist, so ergibt (5.18) mit
vertauschten Koeffizienten die Beziehung a ≥ a 1 . Damit gilt a 1 = a. Durch
Unterscheidung von zwei Fällen weisen wir nun die Gleichheit der beiden Formen
nach.
Ist c > a oder c 1 > a 1 , so genügt es wegen der Gleichartigkeit der Durchführungen,
von c > a auszugehen. Da sich für t ≠ 0 aus (5.18) ein Widerspruch zu a 1 = a
ergeben würde, muss t = 0 und wegen ru − st = 1 außerdem ru = 1 sein. Mit
(5.12) erhalten wir dann b 1 = 2ars + b. Wegen der Reduziertheit und mit a 1 = a
gilt −a < b ≤ a und −a = a 1 < b 1 ≤ a 1 = a. Daraus folgt 2a|rs| = |b 1 − b| < 2a,
sodass sich rs = 0 und damit b 1 = b ergibt. Stellt D die gemeinsame Diskriminante
aller Formen der Klasse dar, so ist c 1 = b2 1−D
= b2 −D
= c. Also gilt
4a 1 4a
(a 1 , b 1 , c 1 ) = (a, b, c).
Als Negation des ersten Falles sei nun c = a und c 1 = a 1 . Wegen a 1 = a ist
dann c 1 = c, und die Gleichheit der Diskriminanten liefert b 2 1 = D + 4a 1 c 1 =
D + 4ac = b 2 . Hier muss b 1 = b sein, weil δ b1 = δ b = 0 nur für b 1 ≥ 0 und b ≥ 0
gilt. Damit ist stets (a 1 , b 1 , c 1 ) = (a, b, c), wenn beide Formen positiv-definit,
zueinander äquivalent und reduziert sind.
Als Beispiel bestimmen wir die reduzierten positiv-definiten Formen (a, b, c) für
D = −39. In einer äußeren Schleife durchläuft b alle ganzen Zahlen mit 0 ≤ b ≤
√
1
3
|D| und b ≡ D (mod 2), während a in einer inneren Schleife alle ganzzahligen
Werte mit b ≤ a ≤ |D| und a b 2 −D
√
∣
1 ∣∣
annimmt. Wenn b ≠ 0, a ≠ b
3 4
und a ≠ c mit c : = b2 −D
4a
gilt, ist neben (a, b, c) auch (a, −b, c) reduziert. Für
D = −39 erhält man auf diese Weise die Formen (1, 1, 10), (2, 1, 5), (2, −1, 5)
und (3, 3, 4).
Als Höhepunkt des fünften Abschnitts von [9] führt Gauß die “Composition”
von Formen beziehungsweise Formenklassen ein. Zu Beginn des entsprechenden
Abschnitts schreibt er, dass es sich dabei um einen “anderen sehr wichtigen,