Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

218 Problemlösestrategien 6.3
zu f n in Beziehung setzen lässt. Die einfachste Funktion f(u, v, w, x) : = u + v +
w + x kommt wegen der obigen Gleichung
(6.30) a n + b n + c n + d n = 0 für alle n ∈ N 1
nicht infrage. Die naheliegenden Funktionen f(u, v, w, x) : = max {|u|, |v|, |w|, |x|}
und f(u, v, w, x) : = |u| + |v| + |w| + |x|, die wegen (6.26) wenigstens positive
Glieder f n ergeben, erlauben keine günstige Rekursion für f n . Als nächste Funktion,
deren Positivität zu (u, v, w, x) ≠ (0, 0, 0, 0) äquivalent ist, bietet sich damit
f(u, v, w, x) : = u 2 + v 2 + w 2 + x 2 an.
Setzen wir q n : = a 2 n + b 2 n + c 2 n + d 2 n, so gilt zunächst
(6.31)
q n+1 = (a n − b n ) 2 + (b n − c n ) 2 + (c n − d n ) 2 + (d n − a n ) 2
= 2q n − 2 (a n b n + b n c n + c n d n + d n a n ) .
Als Anwendung der gleich zu behandelnden Symmetriestrategie ergänzen wir
s n : = 2a n b n + 2b n c n + 2c n d n + 2d n a n durch die “fehlenden” acht Produkte
a 2 n, 2a n c n , c 2 n, b 2 n, 2b n d n und d 2 n, sodass wir
(6.32) s n + (a n + c n ) 2 + (b n + d n ) 2 = (a n + b n + c n + d n ) 2 = 0 für n ∈ N 1
wegen (6.30) erhalten. Durch Addition von (6.31) und (6.32) folgt
q n+1 = 2q n + (a n + c n ) 2 + (b n + d n ) 2 ≥ 2q n für jedes n ∈ N 1 ,
und vollständige Induktion ergibt
q n ≥ 2 n−1 q 1 ≥ 2 n−1 für alle n ∈ N 1 .
Also ist (q n ) n∈N
und damit auch ( max {|a n |, |b n |, |c n |, |d n |} ) n∈N unbeschränkt.
Die Invarianzstrategie lässt sich beim Lösen der Probleme 13, 50 und 53 einsetzen.
Als Signal kann die Wiederholungseigenschaft aus dem anfangs zitierten
Merkspruch von A. Engel dienen.
Symmetriestrategie
In der Zahlentheorie bedeutet Symmetrie meistens wie in der Algebra, dass eine
Funktion von mehreren Variablen beim Permutieren der Variablen in sich selbst
übergeht. Durch diese Invarianz lässt sich beim Problemlösen manchmal die entscheidende
Darstellung finden. Nicht selten kann auch durch eine erkannte oder
herbeigeführte Symmetrie die Anzahl der zu untersuchenden Fälle verkleinert
werden. Wir wählen als Beispiel Problem 1.6.11 aus [13], weil wir später eine
Lösung mit Hilfe der Klammerungsstrategie bringen können.