Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.4 Vollkommene Zahlen und spezielle Primzahlen 57
Satz über die Teilersummenfunktion
Hat n ∈ N 2 die Primpotenzdarstellung n =
(3.15) σ (n) =
r∏
k=1
r ∏
k=1
q e k+1
k
− 1
q k − 1 .
q e k
k
, so gilt
Beweis (Vollständige Induktion, r1):
Wegen σ(q e ) = 1+q+· · ·+q e = qe+1 −1
für alle q ∈ P und jedes e ∈ N
q−1
1 liegt 1 in der
Induktionsmenge M : = {r ∈ N 1 ; (3.15) ist richtig für alle n mit ω(n) = r} . Ist
m ∈ M,
n ∈ N 2 mit ω(n) = m und q m+1 ∤ n, so erhält man alle Teiler von
n q e m+1
m+1 , indem man alle Teiler von n mit jedem Teiler von q e m+1
m+1 multipliziert.
Also ist
e∑
m+1
σ(n q e m+1
m+1 ) = σ(n)
k=0
q k m+1 = σ(n) qe m+1+1
m+1 − 1
q m+1 − 1 ,
d. h. es gilt m + 1 ∈ M, und der Induktionssatz (Seite 12) ergibt M = N 1 .
Dieser Satz ermöglicht einen Beweis der auf Seite 15 erwähnten Ergebnisse von
Euklid und Euler über vollkommene Zahlen, die heute mit Hilfe der Teilersummenfunktion
definiert werden.
Definition der vollkommenen Zahlen
Eine Zahl n ∈ N 1 heißt vollkommen, wenn σ(n) = 2 n ist.
Beispiele
Wegen σ(6) = 12, σ(28) = 56 und σ(496) = 992 sind 6, 28 und 496 vollkommene
Zahlen. Unterhalb von 8127 gibt es keine weiteren.
Satz über gerade vollkommene Zahlen
Ist n ∈ N 2 mit 2|n, so stellt n genau dann eine vollkommene Zahl dar, wenn
es ein m ∈ N 2 mit 2 m − 1 ∈ P gibt, sodass
(3.16) n = 2 m−1 (2 m − 1)
gilt.