Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.3 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 153
Diese Formen werden üblicherweise als positiv-definit bezeichnet. Wir verwenden
im Folgenden meistens die kürzere Charakterisierung D < 0, a > 0.
Als zweite Einschränkung klammern wir die Untersuchung der Formen mit D < 0
und a < 0 aus, weil sich jede solche Form (a, b, c) umkehrbar eindeutig der Form
(−a, −b, −c) mit dis (−a, −b, −c) = dis (a, b, c) und −a > 0 zuordnen lässt.
Für alle Formen F mit D > 0 ist F (1, 0) F (b, −2a) = a 2 (4ac − b 2 ) = −a 2 D < 0,
sodass zu W F sowohl positive als auch negative Zahlen gehören.
Definition der Äquivalenz von binären quadratischen Formen
Sind F und G Formen, so heißt F zu G äquivalent, wenn es Zahlen r, s, t, u ∈
Z mit ru − st = 1 gibt, sodass F (rx + sy, tx + uy) = G(x, y) für alle x, y ∈ Z
gilt.
Satz über Formenäquivalenz
Die Äquivalenz von Formen ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
binären quadratischen Formen.
Beweis (direkt, r1):
Reflexivität: Mit (r, s, t, u) = (1, 0, 0, 1) gilt F (x, y) = F (x + 0, 0 + y) und
1 · 1 − 0 · 0 = 1.
Symmetrie: Es sei F zu G äquivalent mit der Beziehung aus der obigen Definition.
Wegen ru−st = 1 lässt sich das Gleichungssystem rx+sy = x 1 , tx+uy = y 1
für alle x 1 , y 1 ∈ Z nach x und y auflösen: x = ux 1 − sy 1 , y = −tx 1 + ry 1 . Die
ganzzahligen Koeffizienten u, −s, −t, r erfüllen die Bedingung ur − (−s)(−t) =
ru−st = 1, und es gilt G (ux 1 − sy 1 , −tx 1 + ry 1 ) = F (x 1 , y 1 ) für alle x 1 , y 1 ∈ Z.
Also ist G zu F äquivalent.
Transitivität: Mit r, s, t, u, r 1 , s 1 , t 1 , u 1 ∈ Z, ru−st = 1 und r 1 u 1 −s 1 t 1 = 1 sei
F (rx+sy, tx+uy) = G(x, y) für alle x, y ∈ Z und G (r 1 x 1 + s 1 y 1 , t 1 x 1 + u 1 y 1 ) =
H (x 1 , y 1 ) für alle x 1 , y 1 ∈ Z erfüllt. Dann gilt r (r 1 x 1 + s 1 y 1 ) + s (t 1 x 1 + u 1 y 1 ) =
(rr 1 + st 1 ) x 1 +(rs 1 + su 1 ) y 1 = : r 2 x 1 +s 2 y 1 und t (r 1 x 1 + s 1 y 1 )+u (t 1 x 1 + u 1 y 1 ) =
(tr 1 + ut 1 ) x 1 + (ts 1 + uu 1 ) y 1 = : t 2 x 1 + u 2 y 1 mit Koeffizienten r 2 , s 2 , t 2 , u 2 ∈ Z
und mit r 2 u 2 −s 2 t 2 = rur 1 u 1 +sts 1 t 1 −rus 1 t 1 −str 1 u 1 = (ru−st) (r 1 u 1 − s 1 t 1 ) = 1.