Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

180 Quadratische Zahlkörper 5.4
richlet 1839 als weiteren Höhepunkt in der Geschichte der Zahlentheorie eine
analytische Klassenzahlformel für alle algebraischen Zahlkörper bewies. Der Spezialfall
für quadratische Zahlkörper bildet den Abschluss dieses Ausblicks, weil
damit einerseits die nachhaltige Wirkung der vielen Ideen von Gauß erkennbar
wird und weil andererseits die Arbeitsweisen der großen Zahlentheoretiker des
neunzehnten Jahrhunderts auch mächtige Problemlösestrategien eröffnet haben.
Für die Darstellung von h(D) wird eine der auf Seite 72 eingeführten L-Reihen
L(s, χ) von Dirichlet benötigt und zwar diejenige, die für k = |D| zu dem
eindeutig bestimmten Charakter χ : N 1 → {−1, 0, 1} gehört, der die auf Seite
72 genannten Eigenschaften hat und der die Bedingung erfüllt, dass mindestens
ein n ∈ N 1 mit χ(n) = −1 existiert.
Während χ(n) = 0 für alle n ∈ N 1 mit ggT(n, D) > 1 gilt, lassen sich die übrigen
Werte durch Jacobi-Symbole ausdrücken:
⎧( n
)
für d ≡ 1 (mod 4),
|d|
⎪⎨
χ(n) = (−1) n−1(
)
2 n
für d ≡ 3 (mod 4),
|d|
[ n+1
]
+ ⎪⎩
n−1 u−1 (
(−1) 4 2 2 n
|u|)
für d = 2u mit u ∈ Z und 2 ∤ u.
Theorem über die Klassenzahlformel (Dirichlet, 1839)
Für D ∈ D gilt
⎧ √
D ⎪⎨ L(1, χ), wenn D > 0,
h(D) =
2 ln ε d,1
( ) ⎪⎩
√ card R
∗
|D|
d,1 L(1, χ), wenn D < 0,
2π
mit
⎧
⎪⎨ − 1 D∑
√ χ(n) ln sin nπ , wenn D > 0,
D n=1
D
L(1, χ) =
⎪⎩ −√ π ∑|D|
n χ(n), wenn D < 0.
|D|
3
n=1