Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

74 Ausblick auf Resultate der analytischen Primzahltheorie 3.6
In der wegweisenden Arbeit von Riemann standen außerdem sechs Vermutungen,
von denen eine bis heute unbewiesen ist. Da Γ(s) an den Stellen s = −n mit
n ∈ N Pole hat, kann aus der komplexen Differenzierbarkeit von ξ(s) entnommen
werden, dass ζ(s) für jedes s ∈ {−2n ; n ∈ N 1 } eine Nullstelle besitzt. Diese
reellen Nullstellen heißen “triviale Nullstellen” der Riemannschen Zetafunktion,
die übrigen Nullstellen werden “nicht trivial” genannt.
Riemannsche Vermutung
Für alle nicht trivialen Nullstellen s der Riemannschen Zetafunktion gilt
Re s = 1 2 .
Es ist bekannt, dass 0 < Re s < 1 für alle nicht trivialen Nullstellen s gilt, dass es
{
}
unendlich viele Nullstellen auf der “kritischen Geraden” s ∈ C ; Re s = 1 gibt
2
und dass alle Nullstellen s mit 0 < | Im s | < 5 · 10 8 auf der kritischen Geraden
liegen (siehe Abbildung 3.3).
i y
1
+ i · 14, 13 . . .
2
betragskleinste nicht
triviale Nullstelle
i · 10
kritische Gerade
betragskleinste
triviale Nullstelle
-2
0 1
2
1
x
Abbildung 3.3: Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion