Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

230 Problemlösestrategien 6.3
Setzen wir F i : = {σ ∈ S n ; σ(i) = i} für jedes i ∈ I n , so ergibt sich einerseits
v n = card (F 1 ∪ . . . ∪ F n ) , und andererseits können wir auf die Mengen F i die
Siebformel anwenden:
n∑
v n = (−1) k+1
k=1
Aus der Definition von F i folgt
∑
1≤i 1 w 2n+1 für jedes n ∈ N 1 .
Damit folgt w 2n−1 < w 2n+1 < w 2n+2 < w 2n für jedes n ∈ N 1 , und mit Fallunterscheidung
sowie vollständiger Induktion erhalten wir
1
3 = w 3 ≤ w n ≤ w 2 = 1 2 für alle n ∈ N 2.
Problem 2.5.13 in [13] enthält einen Tipp zum Herleiten der Rekursionsformel
u n+1 = n (u n + u n−1 ) für alle n ∈ N 1 , und in Problem 2.5.14 wird w n für n ∈ N 2
als Wahrscheinlichkeit gedeutet.
Abstiegsstrategie
Abschließend betrachten wir als Variante der Extremfallstrategie eine der ältesten
Problemlösemethoden. Sie wurde schon im fünften Jahrhundert v. Chr. im
Prinzip von den Pythagoreern für “Inkommensurabilitätsnachweise” in der Elementargeometrie
verwendet. Dabei heißen zwei Strecken einer Figur inkommensurabel,
wenn es keine Strecke gibt, deren Länge mit je einer natürlichen Zahl
multipliziert die Längen der zu vergleichenden Strecken ergibt. Die Pythagoreer
begründeten zum Beispiel die Inkommensurabilität von Seiten und Diagonalen