Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

224 Problemlösestrategien 6.3
(6.12) erhalten wir dann f κ+t = f κ f t−1 + f κ+1 f t = f κ (f t−1 + f t ) + f κ−1 f t für
alle t ∈ N 1 . Damit folgt f κ+t ≡ f κ−1 f t (mod p), und vollständige Induktion
ergibt f gκ+t ≡ fκ−1f g
t (mod p) für jedes g ∈ N 1 . Als Spezialfall der für alle
n ∈ N 2 mit vollständiger Induktion zu beweisenden Aussage ggT (f n−1 , f n ) = 1
gilt p ∤ f κ−1 . Die letzte Kongruenz und der Satz über Restklassenkörper (Seite
90) ergeben dann, dass p | f n und κ | n äquivalent sind. Setzen wir nun
t = κ − 1 und o : = ord p (f κ−1 ) , so erhalten wir f oκ−1 ≡ fκ−1 o ≡ 1 (mod p)
und f iκ−1 ≡ fκ−1
i ≢ 1 (mod p) für 1 ≤ i < o, falls o > 1 ist. Damit sind
mod(f oκ−1 , p) = 1 und mod(f oκ , p) = 0 die Schlusszahlen der minimalen Periode,
und es gilt λ = o κ.
Für den abschließenden Nachweis, dass aus 2 ∤ κ stets 2 | o folgt, benutzen wir
die leicht zu vermutende Aussage fn
2 = f n−1 f n+1 − (−1) n für jedes n ∈ N 2 , die
sich durch vollständige Induktion beweisen lässt, indem auf beiden Seiten f n f n+1
addiert wird. Mit n = κ und wegen f κ+1 = f κ + f κ−1 ≡ f κ−1 (mod p) ergibt
sich fκ−1 2 ≡ (−1) κ (mod p), sodass o = 4 im Falle 2 ∤ κ gilt. Damit erhalten wir
2 | λ für alle p ∈ P 3 . Wegen f 1 = f 2 = 1 und o ≥ 1 ist λ ≥ κ > 2. Da also
die führenden Spezialfälle λ(4) und λ(p) für p ∈ P 3 keine Primzahlen sind, folgt
λ(m) ∉ P für alle m ∈ N 3 .
Bei den Problemen 4, 22, 25, 29, 41, 51, 54, 58 und 60 lohnt es sich, die Zurückführung
auf Spezialfälle zu beachten. Eine Allaussage mit der Möglichkeit einer multiplikativen
Zerlegung kann oft als Signal für die Zurückführungsstrategie angesehen
werden.
Extremfallstrategie
In [5] wird das “Extremalprinzip” in einem eigenen Kapitel als universell einsetzbare
Problemlösemethode mit teilweise extrem kurzen Beweisen behandelt. Die
17 einführenden Beispiele stammen aus der Geometrie, Graphentheorie, Kombinatorik
und Zahlentheorie. Wie bei dem Beweis des Induktionssatzes (Seite 12)
hängt die Extremfallstrategie in der Zahlentheorie mit dem Minimumsatz oder
dem Maximumsatz (Seite 11) zusammen und zwar meistens in Verbindung mit
einem Widerspruchsbeweis. Als Beispiel bringen wir Problem 3.27 aus [5].
Problem 77
Zeigen Sie, dass es unter je 15 teilerfremden Zahlen aus I 1992 \{1} mindestens
eine Primzahl gibt.