Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

130 Aufgaben und Probleme 4.9
4.9 Aufgaben und Probleme zu Kapitel 4
Aufgabe 4.1:
Es sei n ∈ N 1 und M sei eine Teilmenge von {1, 2, . . . , 2n} mit card M = n + 1.
Beweisen Sie, dass es zwei Zahlen a, b ∈ M mit a ≠ b und a | b gibt.
[Hinweis: Schreiben Sie die Zahlen aus M in der Form 2 k u mit 2 ∤ u, und wenden
Sie den Schubfachsatz an.]
Aufgabe 4.2:
a) Es sei p ∈ P und a ∈ N 1 mit a < p. Zeigen Sie, dass ax ≡ b (mod p) die
( p−1
a−1)
∈ N1 besitzt.
Lösung x ≡ (−1) a−1 bc (mod p) mit c : = 1
( a
)
p
[Hinweis: Beachten Sie, dass
a =
p
a
( p−1
a−1)
gilt.]
b) Lösen Sie die Kongruenz 256 x ≡ 179 (mod 337) mit Hilfe des Kettenbruchalgorithmus.
Aufgabe 4.3:
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
i) m 7 ≡ m (mod 42) für alle m ∈ Z,
ii) 3 m 5 + 5 m 3 ≡ 8 m (mod 15) für alle m ∈ Z,
iii) 3 · 5 2n+1 + 2 3n+1 ≡ 0 (mod 17) für alle n ∈ N.
Aufgabe 4.4:
Lösen Sie das folgende Kongruenzsystem:
x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 4 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 9 (mod 11), x ≡ 3
(mod 13).
Aufgabe 4.5:
Es sei p ∈ P 3 und i −1 sei zu i modulo p assoziiert. Beweisen Sie die Kongruenz
p−1
∑
(−1) i+1 i −1 ≡ 2p −2
p
i=1
(mod p).
[Hinweis: Drücken Sie die rechte Seite mit Hilfe von Binomialkoeffizienten aus
und beachten Sie Aufgabe 4.2.]